朝のお積分 #5

2025年1月16日 02:35

intriguing problem pic.twitter.com/jyt1A4VaJh
— عاصم القحيف (@a____s___m11) January 15, 2025

さて，今回は比較的アマクダリティの高い積分になりますね．
Binet's second integral

$$
\begin{aligned}
\int_0^\infty \frac{2x}{(e^{2\pi x}-1)(x^2+t^2)}\mathrm dx
=\log(t)-\frac{1}{2t}-\psi(t)
\end{aligned}
$$

という公式を知っていると，少しラクに解けます✨

分母の形から分かると思いますが，アーベル・プラナの和公式に帰着させろという作問意図がひしひしと伝わってきますね！

更に，$${2-\gamma-2\log(2)=\psi(3/2)}$$という予備知識を備えていると，答えが$${I=2\psi(3/2)/\pi}$$であることも分かるので，ディガンマ関連の積分であることも読み取れますね✨

$$
\begin{aligned}
I
&=\int_0^\infty\frac{4e^{2\pi x}}{(e^{2\pi x}+1)^2}\log(x^2+1)\mathrm dx\\
&=\left[-\frac{2}{\pi}\frac{1}{e^{2\pi x}+1}\log(x^2+1)\right]_0^\infty
+\frac{2}{\pi}\int_0^\infty\frac{2x}{(e^{2\pi x}+1)(x^2+1)}\mathrm dx\\
&=\frac{4}{\pi}\int_0^\infty\frac{x}{(e^{2\pi x}+1)(x^2+1)}\mathrm dx\\
\end{aligned}
$$

さて，冒頭で軽く~~ネタバレ~~予告したように，ビネの公式が使えそうです．
ただし，分母が$${(e^{2\pi x}+1)}$$と交代バージョンになっているので，ひと工夫して解いていきましょう！

$$
\begin{aligned}
J=\int_0^\infty \frac{2x}{(e^{4\pi x}-1)(x^2+1)}\mathrm dx
\end{aligned}
$$

と置くと，ビネの公式から，

$$
\begin{aligned}
J
&=\int_0^\infty \frac{y}{(e^{2\pi y}-1)((y/2)^2+1)}\frac{\mathrm dy}{2}
\ \ (x\longmapsto y/2)\\
&=\int_0^\infty \frac{2y}{(e^{2\pi y}-1)(y^2+2^2)}\mathrm dy\\
&=\log(2)-\frac{1}{2\cdot2}-\psi(2)\\
&=\log(2)-\frac{5}{4}+\gamma
\end{aligned}
$$

一方，部分分数分解とビネの公式から，

$$
\begin{aligned}
J&=\int_0^\infty \frac{x}{(e^{2\pi x}-1)(x^2+1)}\mathrm dx
-\int_0^\infty \frac{x}{(e^{2\pi x}+1)(x^2+1)}\mathrm dx\\
&=\frac{1}{2}\left(\log(1)-\frac{1}{2\cdot1}-\psi(1)\right)-\frac{\pi}{4}I\\
&=-\frac{1}{4}+\frac{\gamma}{2}-\frac{\pi}{4}I
\end{aligned}
$$

$${I}$$を作ることができましたね！

したがって，これらを等置して$${I}$$について解くと，

$$
\begin{aligned}
\therefore I
&=\frac4\pi\left(-\frac{1}{4}+\frac{\gamma}{2}-\log(2)+\frac{5}{4}-\gamma\right)\\
&=\frac{4-2\gamma-4\log(2)}{\pi}.
\end{aligned}
$$

定石どおりの問題でした✨

余談ですが，各所で交代ビネを面倒な解かれ方をしているところが散見されますが，部分分数分解と通常ビネを駆使すれば簡単に解けますよね．

$$
\begin{aligned}
I&=\int_0^\infty \frac{2x}{(e^{2\pi x}+1)(x^2+t^2)}\mathrm dx\\
J&=\int_0^\infty \frac{2x}{(e^{4\pi x}-1)(x^2+t^2)}\mathrm dx\\
\end{aligned}
$$

と置き，$${J}$$を2通りの方法で求めると，

$$
\begin{aligned}
J&=\int_0^\infty \frac{2x}{(e^{2\pi x}-1)(x^2+(2t)^2)}\mathrm dx\\
&=\log(2t)-\frac{1}{4t}-\psi(2t)\\
\\
\\
J&=\int_0^\infty \frac{x}{(e^{2\pi x}-1)(x^2+t^2)}\mathrm dx-\frac12I\\
&=\frac12\log(t)-\frac{1}{4t}-\frac12\psi(t)-\frac12I\\
\end{aligned}
$$

となり，ディガンマの倍公式

$$
\begin{aligned}
2\psi(2t)
=\psi(t)+\psi\left(t+\frac12\right)+2\log(2)\\
\end{aligned}
$$

はルジャンドル倍公式

$$
\begin{aligned}
\Gamma(2t) \ \Gamma\left(\frac12\right)
=2^{2t-1}\Gamma(t) \ \Gamma\left(t+\frac12\right)
\end{aligned}
$$

を対数微分することで得られるので，

$$
\begin{aligned}
\therefore
I&=\log(t)-2\log(2t)-\psi(t)+2\psi(2t)\\
&=\log(t)-2\log(2t)+\psi\left(t+\frac12\right)+2\log(2)\\
&=\psi\left(t+\frac12\right)-\log(t)
\end{aligned}
$$