ペケとジマの線形代数 #11 ブロック行列①

コジ

2024年12月3日 02:29

登場人物

ペケ
理系，学部1年．
魚が食えない

ジマ
文系，ペケの先輩．
野菜が食えない

ジマ：ブロック行列って言って，行列並べて行列作れるんだけどさぁー．

$$
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
A_{i\times i'}&B_{i\times j'}\\
C_{j\times i'}&D_{j\times j'}
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
A'_{i'\times i''}&B'_{i'\times j''}\\
C'_{j'\times i''}&D'_{j'\times j''}
\end{pmatrix}\\
\end{aligned}
$$

丁寧に添え字にサイズを載せといたよォー．
今回イメージ持ってもらうために縦横2コでやっていくよォー．

ペケ：行列をいくつかのブロックに区切るんですね．こうすると都合良いことあるんですか？

ジマ：掛け算が見やすくなったり簡単になったりするよォーー．

$$
\begin{aligned}
&\begin{pmatrix}
A&B\\
C&D
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A'&B'\\
C'&D'
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
AA'+BC'&AB'+BD'\\
CA'+DC'&CB'+DD'
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

添え字復活させると，

$$
\begin{aligned}
&\begin{pmatrix}
A_{i\times i'}&B_{i\times j'}\\
C_{j\times i'}&D_{j\times j'}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A'_{i'\times i''}&B'_{i'\times j''}\\
C'_{j'\times i''}&D'_{j'\times j''}
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
A_{i\times i'}A'_{i'\times i''}+B_{i\times j'}C'_{j'\times i''}
&A_{i\times i'}B'_{i'\times j''}+B_{i\times j'}D'_{j'\times j''}\\
C_{j\times i'}A'_{i'\times i''}+D_{j\times j'}C'_{j'\times i''}
&C_{j\times i'}B'_{i'\times j''}+D_{j\times j'}D'_{j'\times j''}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

確かにサイズあってるだろォー？Soーー．

ペケ：行列のベクトル表示の積みたく転置はしないで，サイズさえ合ってたら普段見たく積の計算ができるんすね．

$$
\begin{aligned}
&\begin{pmatrix}
A&B\\
C&D
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A'&B'\\
C'&D'
\end{pmatrix}\\

&=\begin{pmatrix}
\bm a_1^\top&&\bm b_1^\top\\
&\vdots&\\
\bm a_i^\top&&\bm b_i^\top\\
\bm c_1^\top&&\bm d_1^\top\\
&\vdots&\\
\bm c_j^\top&&\bm d_j^\top\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\bm a_1'&&\bm a_{i''}'&\bm b_1'&&\bm b_{j''}'\\
&\cdots&&&\cdots&\\
\bm c_1'&&\bm c_{i''}'&\bm d_1'&&\bm d_{j''}'
\end{pmatrix}\\

&=\begin{pmatrix}
(\bm a_m^\top\bm a_n'+\bm b_m^\top\bm c_n')_{i\times i''}
&(\bm a_m^\top\bm b_n'+\bm b_m^\top\bm d_n')_{i\times j''}\\
(\bm c_m^\top\bm a_n'+\bm d_m^\top\bm c_n')_{j\times i''}
&(\bm c_m^\top\bm b_n'+\bm d_m^\top\bm d_n')_{j\times j''}\\
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
(\bm a_m^\top\bm a_n')_{i\times i''}+(\bm b_m^\top\bm c_n')_{i\times i''}
&(\bm a_m^\top\bm b_n')_{i\times j''}+(\bm b_m^\top\bm d_n')_{i\times j''}\\
(\bm c_m^\top\bm a_n')_{j\times i''}+(\bm d_m^\top\bm c_n')_{j\times i''}
&(\bm c_m^\top\bm b_n')_{j\times j''}+(\bm d_m^\top\bm d_n')_{j\times j''}\\
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
AA'+BC'&AB'+BD'\\
CA'+DC'&CB'+DD'
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

確かにあってるんすね．

ジマ：じゃ練習ーー．

$$
\begin{aligned}
&\begin{vmatrix}
A&B\\
B&A
\end{vmatrix}
=|A+B||A-B|\\
&\begin{vmatrix}
A&-B\\
B&A
\end{vmatrix}
=|A+iB||A-iB|\\
\\
&(A,B\in\mathbb C^{n\times n})
\end{aligned}
$$

ペケ：$${a^2\pm b^2}$$の因数分解みたいですね．

$$
\begin{aligned}
\begin{vmatrix}
A&B\\
B&A
\end{vmatrix}
&=
\begin{vmatrix}
A+B&B+A\\
B&A
\end{vmatrix}\\
&=
\begin{vmatrix}
A+B&O\\
B&A-B
\end{vmatrix}\\
&=|(A+B)(A-B)-OB|\\
&=|A+B||A-B|\\
\end{aligned}
$$

ですかね？知らんけど．

ジマ：答え知ってるからって，流石に2行目から3行目の計算は適当すぎんだろ．カスがよォーーー．

$$
\begin{aligned}
\begin{vmatrix}
A+B&O\\
B&A-B
\end{vmatrix}
&=\begin{vmatrix}
A+B&O\\
O&I
\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
I&O\\B&A-B
\end{vmatrix}\\
&=|A+B|
\begin{vmatrix}
I&O\\B&A-B
\end{vmatrix}\\
&(ケツの列で余因子展開しまくる)\\
&=|A+B||A-B|\\
&(1行目で余因子展開しまくる)\\
\end{aligned}
$$

ペケ：めっちゃ天下りじゃないすか．でも行列の積に分解するところはさっきやったブロック行列の積の話のおかげで理解できますね．
ということは，

$$
\begin{aligned}
\begin{vmatrix}
A&-B\\
B&A
\end{vmatrix}
&=\begin{vmatrix}
A+iB&iA-B\\
B&A
\end{vmatrix}\\
&=\begin{vmatrix}
A+iB&O\\
B&A-iB
\end{vmatrix}\\
&=\begin{vmatrix}
A+iB&O\\
O&I
\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
I&O\\B&A-iB
\end{vmatrix}\\
&=|A+iB|
\begin{vmatrix}
I&O\\B&A-iB
\end{vmatrix}\\
&=|A+iB||A-iB|
\end{aligned}
$$

ですかね．

ジマ：形が直感的でおもろいよな．

#11のまとめ

ブロック行列とそれら同士の積
(次回一般化やるから無理に覚えなくて良い．)

$$
\begin{aligned}
&\begin{vmatrix}
A&B\\
B&A
\end{vmatrix}
=|A+B||A-B|\\
&\begin{vmatrix}
A&-B\\
B&A
\end{vmatrix}
=|A+iB||A-iB|\\
\\
&(A,B\in\mathbb C^{n\times n})
\end{aligned}
$$