ペケとジマの線形代数+ #4 フロベニウスの定理

コジ

2024年12月5日 01:26

登場人物

ペケ(聞き手)
理系，学部3年．
工学系の院試を控えている．

ジマ(話し手)
文系，ペケの先輩．
口が悪い．

ジマ：フロベニウスの定理ってのがあって，

$$
\begin{aligned}
\varphi_A(\lambda)=0
\implies
\varphi_{f(A)}\big(f(\lambda)\big)=0
\end{aligned}
$$

っていうことなんだけど，線形代数にペロン=フロベニウスの定理ってのもあるから混同しないように．

ペケ：あー，$${f(A)}$$の固有値が$${f(\lambda_i)}$$になるってことなんですね．何となくそうなるのかなーとは薄々感じてました．

$$
\begin{aligned}
f(A)
&=\sum_{k=0}^\infty a_kA^k\\
&=\sum_{k=0}^\infty a_k(PDP^{-1})^k\\
&=\sum_{k=0}^\infty a_kPD^kP^{-1}\\
&=P\sum_{k=0}^\infty a_kD^kP^{-1}
\Big(=Pf(D)P^{-1}\Big)\\
&=P\sum_{k=0}^\infty a_k
\begin{pmatrix}
\lambda_1^k&&\huge O\\
&\ddots&\\
\huge O&&\lambda_n^k
\end{pmatrix}P^{-1}\\
&=P
\begin{pmatrix}
\sum_{k=0}^\infty a_k\lambda_1^k&&\huge O\\
&\ddots&\\
\huge O&&\sum_{k=0}^\infty a_k\lambda_n^k
\end{pmatrix}P^{-1}\\
&=P
\begin{pmatrix}
f(\lambda_1)&&\huge O\\
&\ddots&\\
\huge O&&f(\lambda_n)
\end{pmatrix}P^{-1}\\
\end{aligned}
$$

と固有値分解できるからですかね．

ジマ：Soーー．じゃ練習で次を示してくれ．

$$
\begin{aligned}
\exp(A)\exp(B)=\exp(A+B) \ (AB=BA)
\end{aligned}
$$

ペケ：へー．行列でも指数法則$${e^ae^b=e^{a+b}}$$みたいなモンが成り立つんですね．
前回やったように，$${AB=BA}$$ってことは同時対角化可能だから，

$$
\begin{aligned}
&\exp(A)\exp(B)\\
&=P\exp(D_A)P^{-1}P\exp(D_B)P^{-1}\\
&=P\exp(D_A)\exp(D_B)P^{-1}\\
&=P
\begin{pmatrix}
e^{\lambda_1}&&\huge O\\
&\ddots&\\
\huge O&&e^{\lambda_n}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
e^{\mu_1}&&\huge O\\
&\ddots&\\
\huge O&&e^{\mu_n}
\end{pmatrix}
P^{-1}\\
&=P
\begin{pmatrix}
e^{\lambda_1}e^{\mu_1}&&\huge O\\
&\ddots&\\
\huge O&&e^{\lambda_n}e^{\mu_n}
\end{pmatrix}
P^{-1}\\
&=P
\begin{pmatrix}
e^{\lambda_1+\mu_1}&&\huge O\\
&\ddots&\\
\huge O&&e^{\lambda_n+\mu_n}
\end{pmatrix}
P^{-1}\\
&=P\exp(D_A+D_B)P^{-1}\\
&=\exp(A+B)
\end{aligned}
$$