ペケとジマの線形代数+ #5 京大工修士H31(改題)
登場人物
ペケ(聞き手)
理系,学部3年.
工学系の院試を控えている.
ジマ(話し手)
文系,ペケの先輩.
口が悪い.
ジマ:今日は問題演習でもすっかナァーー.
相異なる固有値$${\lambda_i}$$を持つ$${A \in \mathbb C^{n \times n}}$$に対して,
$$
\begin{aligned}
P_i=\prod_{k=1,k\neq i}^n\frac{A-\lambda_kI}{\lambda_i-\lambda_k}
\end{aligned}
$$
として,次を示してくんねぇー?
$$
\begin{aligned}
&(1)\sum_{k=1}^nP_k=I\\
&(2)P_iP_j=P_jP_i=O\\
&(3)P_i^2=P_i\\
&(4)AをP_iの線形結合で表せ.\\
&(5)A^nをP_iの線形結合で表せ.\\
\end{aligned}
$$
ペケ:$${(1)}$$は,$${A}$$の固有値$${\lambda_i}$$に対する固有ベクトル$${\bm p_i}$$を並べた行列を$${P=(\bm p_1 \ \cdots \ \bm p_n)}$$とすると,#1でやった性質
$$
\begin{aligned}
&\prod_{k=1,k\neq i}^n\frac{A-\lambda_kI}{\lambda_i-\lambda_k}\cdot\bm p_i\\
&=\prod_{k=1,k\neq i}^n\frac{\lambda_i-\lambda_k}{\lambda_i-\lambda_k}I\cdot\bm p_i\\
&=1I\bm p_i\\
&=\bm p_i\\
\\
&\prod_{k=1,k\neq i}^n\frac{A-\lambda_kI}{\lambda_i-\lambda_k}\cdot\bm p_j\\
&=\prod_{k=1,k\neq i}^n\frac{\lambda_j-\lambda_k}{\lambda_i-\lambda_k}I\cdot\bm p_j\\
&=0I\bm p_j\\
&=\bm 0\\
\end{aligned}
$$
だから,
$$
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^nP_kP=P\\
\end{aligned}
$$
で,固有値が相異なることから$${P}$$は正則だから,$${P^{-1}}$$を左から掛けると,
$$
\begin{aligned}
\therefore\sum_{k=1}^nP_k=I\\
\end{aligned}
$$
ですね.で,固有多項式とケーリー・ハミルトンの定理の関係より,
$$
\begin{aligned}
P_iP_j
&=\prod_{k=1,k\neq i,j}^n\frac{A-\lambda_kI}{\lambda_i-\lambda_k}\cdot\prod_{k=1}^n\frac{A-\lambda_kI}{\lambda_i-\lambda_k}\\
&=\prod_{k=1,k\neq i,j}^n\frac{A-\lambda_kI}{\lambda_i-\lambda_k}\cdot\prod_{k=1}^n\frac{-1}{\lambda_i-\lambda_k}\cdot\varphi_A(A)\\
&=\prod_{k=1,k\neq i,j}^n\frac{A-\lambda_kI}{\lambda_i-\lambda_k}\cdot\prod_{k=1}^n\frac{-1}{\lambda_i-\lambda_k}\cdot O\\
&=O
\end{aligned}
$$
で,#1でやったように,$${A-\lambda_iI}$$同士の積は可換だから,
$$
\begin{aligned}
\therefore P_iP_j=P_jP_i=O
\end{aligned}
$$
ジマ:Soーー.ここまで出来たら後は下り坂だな.
ペケ:はい.$${(1)}$$両辺に$${P_i}$$を掛けて,$${(2)}$$の性質より,
$$
\begin{aligned}
P_i
&=IP_i\\
&=\sum_{k=1}^nP_kP_i\\
&=\cdots+O+P_iP_i+O+\cdots\\
&=P_i^2
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\therefore P_i^2=P_i
\end{aligned}
$$
ここまでは何とかケリハミの性質や誘導から分かったんですけど,次は見通しがつきませんね.
ジマ:線形結合って言ってんだから,
$$
\begin{aligned}
A=\sum_{k=1}^n w_kP_k
\end{aligned}
$$
と仮定して,重み$${w_k}$$を求めんのが定石だろーがボケ!!!!
ペケ:なるほど,直交性で係数を求めるときみたく,一旦その形を仮定しておいてから重みを求めるんですね.
$$
\begin{aligned}
AP_i
&=\sum_{k=1}^n w_kP_kP_i\\
&=\cdots+O+w_kP_iP_i+O+\cdots\\
&=w_kP_i^2\\
&=w_kP_i
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\therefore AP_i=w_kP_i
\end{aligned}
$$
で,$${P_i}$$の列は#1でやったように,$${\lambda_i}$$の固有ベクトルだから,$${w_i=\lambda_i}$$と分かるから,
$$
\begin{aligned}
\therefore A=\sum_{i=1}^n \lambda_iP_i
\end{aligned}
$$
というわけですね.
ジマ:そしたら最後は簡単だな.
ペケ:直交性(?)から
$$
\begin{aligned}
A^N=\sum_{i=1}^n \lambda_i^NP_i
\end{aligned}
$$
となりそうだから,これを仮定して,$${N=1}$$は明らかだから,$${N=k}$$のとき
$$
\begin{aligned}
A^k=\sum_{i=1}^n \lambda_i^kP_i
\end{aligned}
$$
が成り立つとして,
$$
\begin{aligned}
A^{k+1}
&=AA^{k}\\
&=A\sum_{i=1}^{n} \lambda_i^kP_i\\
&=\sum_{i=1}^{n} \lambda_i^kAP_i\\
&=\sum_{i=1}^{n} \lambda_i^k\lambda_iP_i\\
&=\sum_{i=1}^{n} \lambda_i^{k+1}P_i\\
\end{aligned}
$$
で,$${N=k+1}$$でも成り立つから,数学的帰納法により,
$$
\begin{aligned}
\therefore A^N=\sum_{i=1}^n \lambda_i^NP_i
\end{aligned}
$$
というわけですね.
ジマ:そォーーー.意外とすんなり行けたな.
#5のまとめ
線形結合を求める問題は,重みを文字で置いて,それを直交性などで抜き出して求める.