ペケとジマの線形代数+ #2 行列の相似
登場人物
ペケ(聞き手)
理系，学部3年．
工学系の院試を控えている．
ジマ(話し手)
文系，ペケの先輩．
口が悪い．
ジマ：$${B=X^{-1}AX}$$と表せるとき，$${A,B}$$は相似であるというよォー．
ペケ：ということは，固有値分解でいう$${A,D}$$も相似なんすね．なんか性質とかあるんですか？
ジマ：次があるよォー．
$$
\begin{align}
&\mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(B)\\
&\det(A)=\det(B)\\
&\varphi_A(\lambda)=\varphi_B(\lambda)\\
&f(A)=X^{-1}f(B)X
\end{align}
$$
ペケ：
$$
\begin{aligned}
&\mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(XBX^{-1})=\mathrm{tr}\Big(X^{-1}(XB)\Big)=\mathrm{tr}(B)\\
&\det(A)=\det(XBX^{-1})=\det\Big(X^{-1}(XB)\Big)=\det(B)\\
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\varphi_A(\lambda)
&=|\lambda I-A|\\
&=|\lambda XX^{-1}-XBX^{-1}|\\
&=|X(\lambda I-B)X^{-1}|\\
&=|X^{-1}X(\lambda I-B)|\\
&=|\lambda I-B|\\
&=\varphi_B(\lambda)
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
f(A)
&=\sum_{k=0}^\infty a_kA^k\\
&=\sum_{k=0}^\infty a_k(XBX^{-1})^k\\
&=\sum_{k=0}^\infty a_kXB^kX^{-1}\\
&=X\left(\sum_{k=0}^\infty a_kB^k\right)X^{-1}\\
&=Xf(B)X^{-1}\\
\end{aligned}
$$
相似な行列の固有値一致するの面白いですね．
ジマ：$${D=P^{-1}AP=P^{-1}XBX^{-1}P=(X^{-1}P)^{-1}B(X^{-1}P)}$$という解釈もできるな．
ペケ：これ収束する条件とかあるんですか？
ジマ：$${\max_i|\lambda_i|}$$が$${f(x)}$$の収束半径内だったらいいんだけど，今度やるから今回は収束するように$${A,B}$$選んでるもんだと思っていいよォー．
ペケ：わかりました．
#2のまとめ
相似な行列：$${B=X^{-1}AX}$$
相似な行列の性質
$${\mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(B) }$$
$${\det(A)=\det(B) }$$
$${\varphi_A(\lambda)=\varphi_B(\lambda) }$$
$${f(A)=X^{-1}f(B)X }$$
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