ペケとジマの線形代数 #4

コジ

2024年11月6日 03:50

登場人物

ペケ
理系，学部1年．
"チー牛"に似てる．

ジマ
文系，ペケの先輩．
"iカップ未満お断りのTom"に似てる．

図3. 棒

ペケ：ジマさん．前回やった対角化のやり方を教えてほしいです．

ジマ：その前に行列式を解説するぞ．

ペケ：ありがとうございます．行列式って

$$
|A|
=\det A
=\det(A)
=\det\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
=\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix}
$$

こういう奴ですよね？なんで表記がいっぱいあるのか分かんないけど．

ジマ：見やすさや分かりやすさのためだね．分母や成分に行列式が来るとき，

$$
\frac{1}{\det(A)} \ , \ 1/\det(A)
$$

だと冗長だから，

$$
\frac{1}{|A|} \ , \ 1/|A|
$$

と書きたいし，だからと言って$${|A|}$$だと絶対値や濃度にも見えるし．でも$${\det A}$$って書けば説明なしに一発でわかんじゃん？

ペケ：一長一短なんですね．

ジマ：後は，他単元で行列式の絶対値を書きたいとき$${||A||}$$って書いたらノルムにも見えんじゃん？こういう時は一目で分かりやすいように$${|\det A|}$$とかって書くんだよォー．
この解説シリーズでも適宜それぞれの表記を使っていくから戸惑わないでくれよなァー．

ペケ：分かりました．ところで行列式って何者なんですか？

ジマ：行列式は行列の大きさみたいなもんだねー．マイナスにもなるけど．$${A=(a_{ij})_{n\times n}}$$に対して次で定義されるよォー．

$$
\det(A):=\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n}\mathrm{sgn}(\sigma) a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}
$$

$${\mathfrak{S}_n}$$は$${n}$$個の置換ぜんぶの集合だから，項数は高々$${n!}$$個になるのが分かるね．

ペケ：こんな風に習ってないし，さっぱり分かんないです．そもそもなんでこういう定義なんですかね？

ジマ：同値な定義がいっぱいあって，そのうちの一つなんだけど，説明のためにこれを使っていくよォー．

ペケ：とりあえず理解しました．

ジマ：本当か？次の性質があるよー．

$$
\begin{align}
&\boldsymbol a_j=
\begin{pmatrix}
a_{1j} \\
a_{2j} \\
\vdots \\
a_{nj}
\end{pmatrix},
\boldsymbol b_j=
\begin{pmatrix}
b_{1j} \\
b_{2j} \\
\vdots \\
b_{nj}
\end{pmatrix}のとき, \notag \\
\notag \\
&\det(\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ t\boldsymbol a_k \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n)\notag \\
&=t\det(\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_ k \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n)\\
\notag \\
&\det(\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ (\boldsymbol a_k+\boldsymbol b_k) \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n)\notag \\
&=\det(\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_ k \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n)
+\det(\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol b_ k \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n)\\
\notag \\
&\det(\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_j \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n)\notag \\
&=-\det(\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_j \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n)
\end{align}
$$

ペケ：$${(1),(2)}$$が成り立つってことは各列に対して線形性があるんすね．
定義に従って計算すると$${(1)}$$は，

$${(2)}$$は，

$$
\begin{aligned}
&\det(\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ t\boldsymbol a_k \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n)\\
&=\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n}\mathrm{sgn}(\sigma) a_{1\sigma(1)}\cdots (a_{k\sigma(k)}+b_{k\sigma(k)})\cdots a_{n\sigma(n)}\\
&=\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n}\mathrm{sgn}(\sigma) a_{1\sigma(1)}\cdots a_{k\sigma(k)}\cdots a_{n\sigma(n)}\\
& \ \ \ \ +\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n}\mathrm{sgn}(\sigma) a_{1\sigma(1)}\cdots b_{k\sigma(k)}\cdots a_{n\sigma(n)}\\
&=\det(\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_k \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n)\\
& \ \ \ \ +\det(\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol b_k \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n)
\end{aligned}
$$

ですね．$${(3)}$$は，

$$
\begin{aligned}
&\det(\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_j \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n)\\
&=\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n}\mathrm{sgn}(\sigma) a_{1\sigma(1)}\cdots a_{i\sigma(i)}\cdots a_{j\sigma(j)}\cdots a_{n\sigma(n)}\\
&=\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n}\mathrm{sgn}(\sigma) a_{1\sigma(1)}\cdots a_{j\sigma(j)}\cdots a_{i\sigma(i)}\cdots a_{n\sigma(n)}\\
\end{aligned}
$$

…あれ，こっからどうすればいいか分かんないです．

ジマ：結論から言うとこうだ．

$$
\begin{aligned}
&\tau=\begin{pmatrix}
1 \ \cdots \ i \ \cdots \ j \ \cdots\ n \\
1 \ \cdots \ j \ \cdots \ i \ \cdots\ n
\end{pmatrix}
として,\\
\\
&\det(\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_j \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n)\\
&=\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n}\mathrm{sgn}(\sigma) a_{1\sigma(1)}\cdots a_{i\sigma(i)}\cdots a_{j\sigma(j)}\cdots a_{n\sigma(n)}\\
&=\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n}\mathrm{sgn}(\sigma) a_{\tau(1)\sigma(1)}\cdots a_{\tau(j)\sigma(i)}\cdots a_{\tau(i)\sigma(j)}\cdots a_{\tau(n)\sigma(n)}\\
&=-\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n}\mathrm{sgn}(\tau^{-1}\sigma) a_{1\tau^{-1}\sigma(1)}\cdots a_{j\tau^{-1}\sigma(i)}\cdots a_{i\tau^{-1}\sigma(j)}\cdots a_{n\tau^{-1}\sigma(n)}\\
&=-\sum_{\tau^{-1}\sigma \in \mathfrak{S}_n}\mathrm{sgn}(\tau^{-1}\sigma) a_{1\tau^{-1}\sigma(1)}\cdots a_{j\tau^{-1}\sigma(i)}\cdots a_{i\tau^{-1}\sigma(j)}\cdots a_{n\tau^{-1}\sigma(n)}\\
&=-\det(\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_j \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n)
\end{aligned}
$$

ペケ：もう線形代数やめてもいいでつか？

ジマ：ちょっとやりすぎたな．ま，結果だけ覚えておいてくれ給へ．

ペケ：思ったんですが，これ行でも同じこと言えるんすかね？

ジマ：言えるよぉー．次が成り立つからね．

$$
\det(A^\top)=\det(A)
$$

転置しても行列式の値は変わんないんだよね．

ペケ：2次や3次だとなんとなくわかるんスけど，証明は？

ジマ：また悪夢を見たいか？

ペケ：遠慮しておきます．
あ，転置しても行列式が変わらないってことは，列の性質は行でも成り立つことが示せそうですね．

ジマ：So－．あと次が成り立つね．

$$
\det(AB)=\det(A)\det(B)
$$

積の行列式は行列式の積になるんだよぉー．

ペケ：やっぱり！何となくそうなると思っていました．
証明は…遠慮しておきます．

ジマ：ｸｸｸｸｸ…www 物分かりが良いねぇキミwww
余因子展開も定義から示せるが，結果だけ覚えてくれるといいよ．

ペケ：分かりました．つかれた．

ジマ：ではペケくん，次の行列式を計算してくれ．

$$
\begin{vmatrix}
1&4&7\\
2&5&8\\
3&6&9
\end{vmatrix}
$$

ペケ：まだやるんですか．サラス則より，$${1\cdot5\cdot9+4\cdot8\cdot3+7\cdot2\cdot6-1\cdot8\cdot6-4\cdot2\cdot9-7\cdot5\cdot3=45+96+84-48-72-105(めんどくせぇ…)=225-225=0}$$…あれ，せっかく頑張って計算したのにゼロになった．

ジマ：愚かだねぇ，ペケくぅん．この流れなんだから楽に計算する方法があるに決まってるでしょw
俺ならこう計算するね．

$$
\begin{aligned}

\begin{vmatrix}
1&4&7\\
2&5&8\\
3&6&9
\end{vmatrix}
&=\begin{vmatrix}
1&4&7-4\\
2&5&8-5\\
3&6&9-6
\end{vmatrix} \ \ (3列目-2列目)\\
&=\begin{vmatrix}
1&4-1&3\\
2&5-2&3\\
3&6-3&3
\end{vmatrix} \ \ (2列目-1列目)\\
&=\begin{vmatrix}
1&3&3\\
2&3&3\\
3&3&3
\end{vmatrix}\\
&=0 \ \ (同じ列あるからゼロ)

\end{aligned}
$$

さっきやったこと覚えてる？w

ペケ：あ，各列に線形性あるから，

$$
\begin{aligned}
&\det(\boldsymbol a \ \ \boldsymbol b \ \ \boldsymbol c)\\
&=\det(\boldsymbol a \ \ \boldsymbol b \ \ ((\boldsymbol c-k\boldsymbol b)+k\boldsymbol b))\\
&=\det(\boldsymbol a \ \ \boldsymbol b \ \ (\boldsymbol c-k\boldsymbol b))+\det(\boldsymbol a \ \ \boldsymbol b \ \ k\boldsymbol b)\\
&=\det(\boldsymbol a \ \ \boldsymbol b \ \ (\boldsymbol c-k\boldsymbol b))+k\det(\boldsymbol a \ \ \boldsymbol b \ \ \boldsymbol b)\\

\end{aligned}
$$

（あれ，ジマさんの言い方的に$${\det(\boldsymbol a \ \ \boldsymbol b \ \ \boldsymbol b) =0}$$なんだろうけど，これどうやって示すんだ？）
あ，式$${(3)}$$を使って，

$$
\begin{aligned}
&\det(\boldsymbol a \ \ \boldsymbol b \ \ \boldsymbol b)\\
&=\frac{1}{2}\det(\boldsymbol a \ \ \boldsymbol b \ \ \boldsymbol b)+\frac{1}{2}\det(\boldsymbol a \ \ \boldsymbol b \ \ \boldsymbol b) \\
&=\frac{1}{2}\det(\boldsymbol a \ \ \boldsymbol b \ \ \boldsymbol b)-\frac{1}{2}\det(\boldsymbol a \ \ \boldsymbol b \ \ \boldsymbol b) \ \ (2列目と3列目入れ替え)\\
&=0
\end{aligned}
$$

だから，

という事実を使って変形してたんですね．これ教科書に載ってたけど証明がなかった公式だ！

ジマ：そうだよ．お前にしてはやるじゃん．
同じ列が2つ以上あったり，例題で分かる通り，1つでも他の行や列と線形従属な列があったら行列式はゼロになる．
あとはある行や列の定数倍を別の行や列に足し引きしても行列式の値は変わらないから，これを使ってラクに計算できるんだな．

ペケ：さっきまで疲れて嫌になってたけど，理解できると線形代数がだんだん面白く感じてきました．

#4のまとめ

行列式は行列の大きさみたいなもの．
行列式は各行や各列に線形性がある．
行列式は各行や各列を入れ替えると$${(-1)}$$倍．
転置しても行列式の値は変わんない$${\det(A^\top)=\det(A)}$$
積の行列式は行列式の積になる$${\det(AB)=\det(A)\det(B)}$$
1つでも他の行や列と線形従属な行や列があったら行列式はゼロになる．
ある行や列の定数倍を別の行や列に足し引きしても行列式の値は変わらないから，この事実を用いて行列式がラクに計算できる．

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