朝のお積分 #1
— عاصم القحيف (@a____s___m11) December 16, 2024
$${I_1}$$は簡単なので，$${I_2}$$をば．
(注：画像の答えは間違っています．(1/2が抜けている))
$$
\begin{aligned}
I_2
=\int_0^\infty \frac{\sin^2(x)}{x\sqrt x}\ln (x)\mathrm dx
\end{aligned}
$$
ですから，変形すると，
$$
\begin{aligned}
I_2
=\int_0^\infty x^{-3/2}\ln (x)\cdot\sin^2(x)\mathrm dx
\end{aligned}
$$
なので，積分区間と被積分関数の形から，メリン変換の微分
$$
\begin{aligned}
I_2
=\frac{\mathrm d\mathcal M\{\sin^2(x)\}}{\mathrm ds}(-1/2)
\end{aligned}
$$
で解く方針が立てられますね✨
$$
\begin{aligned}
&\mathcal M\{\sin^2x\}(s)\\
&=\int_0^\infty\frac{1}{\Gamma(1-s)}\frac{\Gamma(1-s)}{x^{1-s}}\sin^2(x)\mathrm dx\\
&=\frac{1}{\Gamma(1-s)}\int_0^\infty\mathcal L[t^{-s}](x)\sin^2(x)\mathrm dx\\
&=\frac{1}{\Gamma(1-s)}\int_0^\infty t^{-s}\mathcal L[\sin^2(x)](t)\mathrm dt\\
&=\frac{1}{\Gamma(1-s)}\int_0^\infty t^{-s}\frac12\left(\frac1t-\frac{t}{t^2+4}\right)\mathrm dt\\
&=\frac{2}{\Gamma(1-s)}\int_0^\infty\frac{t^{-s-1}}{t^2+4}\mathrm dt\\
&=\frac{2}{\Gamma(1-s)}\int_0^\infty\frac{(2u^{1/2})^{-s-1}}{4(u+1)}u^{1/2-1}\mathrm du\\
&(t=2u^{1/2})\\
&=\frac{2^{-s-2}}{\Gamma(1-s)}\int_0^\infty\frac{u^{-s/2-1}}{u+1}\mathrm du\\
&=\frac{2^{-s-2}}{\Gamma(1-s)}\frac{\pi}{\sin(-\pi s/2)}\\
\end{aligned}
$$
最後の積分は，$${\Beta}$$関数の有名変換形から簡単に分かりますね✨
ここから微分をするので，微分しやすい形に変形していきましょう！
$$
\begin{aligned}
&\frac{2^{-s-2}}{\Gamma(1-s)}\frac{\pi}{\sin(-\pi s/2)}\\
&=-\frac{2^{-s-1}}{\Gamma(1-s)}\frac{\pi \cos(\pi s/2)}{2\sin(\pi s/2)\cos(\pi s/2)}\\
&=-\frac{2^{-s-1}\Gamma(s)}{\Gamma(s)\Gamma(1-s)}\frac{\pi \cos(\pi s/2)}{\sin(\pi s)}\\
&=-\frac{2^{-s-1}\Gamma(s)}{\pi\csc(\pi s)}\frac{\pi \cos(\pi s/2)}{\sin(\pi s)}\\
&=-2^{-s-1}\Gamma(s)\cos\left(\frac{\pi s}{2}\right)
\end{aligned}
$$
ですから，
$$
\begin{aligned}
&\frac{\mathrm d\mathcal M\{\sin^2(x)\}}{\mathrm ds}(s)\\
&=-2^{-s-1}\big(-\ln(2)\big)\Gamma(s)\cos\left(\frac{\pi s}{2}\right)\\
&-2^{-s-1}\Gamma'(s)\cos\left(\frac{\pi s}{2}\right)\\
&-2^{-s-1}\Gamma(s)\left(-\frac{\pi}{2}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\right)\\
&=2^{-s-1}\Gamma(s)\left[\Big(-\ln(2)+\psi(s)\Big)\cos\left(\frac{\pi s}{2}\right)-\frac{\pi}{2}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\right]
\end{aligned}
$$
最後に，$${s=-1/2}$$を代入すると，$${\psi(-1/2)=-\gamma-2\ln(2)+2}$$に注意して，
$$
\begin{aligned}
I_2
&=2^{1/2-1}\Gamma\left(-\frac12\right)\left[\Big(-\ln(2)-\gamma-2\ln(2)+2\Big)\frac{1}{\sqrt2}-\frac{\pi}{2}\left(-\frac{1}{\sqrt2}\right)\right]\\
&=\frac{\sqrt\pi}{4}\Big(\pi+4-2\gamma-6\ln(2)\Big)\\
&\left(=\frac{\sqrt\pi}{2}\ln\left(\frac{e^{2-\gamma}\sqrt{e^\pi}}{8}\right)\right)
\end{aligned}
$$
Twitterの画像の答えは1/2が抜けているので間違いですね．
方針が立ってからは解き進めるだけなので簡単でしたが，やりがいのあるクイズでした✨
いいなと思ったら応援しよう！
