三角関数の倍角公式

サインの倍角公式

$${n}$$を非負整数とする。
$${x^{n}-1=0}$$の解は$${k}$$を$${0}$$から$${n-1}$$までの整数として$${x=e^{i2k\pi/n}}$$であるから、

$$
\begin{array}{}
x^{2n}-1&=&\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}
\left(x^{2}-e^{i2k\pi/n}\right)\\
x^{n}-x^{-n}&=&
\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}
e^{ik\pi/n}
\left(e^{-ik\pi/n}x-e^{ik\pi/n}x^{-1}\right)\\
&=&\displaystyle{}e^{i(n-1)\pi/2}
\prod_{k=0}^{n-1}
\left(e^{-ik\pi/n}x-e^{ik\pi/n}x^{-1}\right)
&(1)\\
\end{array}
$$

$${(1)}$$に$${x=e^{i\theta}}$$を代入すると

$$
\begin{array}{}
&e^{in\theta}-e^{-in\theta}\\
=&\displaystyle{}e^{i(n-1)\pi/2}
\prod_{k=0}^{n-1}
\left[e^{i(\theta-k\pi/n)}
-e^{-i(\theta-k\pi/n)}\right]
\end{array}
$$

ここで$${e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}=2i\sin\varphi}$$であるから、

$$
\begin{array}{}
2i\sin{}n\theta&=&i^{n-1}
\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}
\left[2i\sin\left(\theta-\dfrac{k}{n}\pi\right)
\right]\\
\sin{}n\theta&=&
(-2)^{n-1}\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}
\sin\left(\theta-\dfrac{k}{n}\pi\right)\\
\end{array}
$$

コサインの倍角公式

$${n}$$を非負整数とする。$${x^{n}+1=0}$$の解は$${k}$$を$${0}$$から$${n-1}$$までの整数として$${x=e^{i(2k+1)\pi/n}}$$であるから、

$$
\begin{array}{}
x^{2n}+1&=&\displaystyle
\prod_{k=0}^{n-1}
\left(x^{2}-e^{i(2k+1)\pi/n}\right)\\
x^{n}+x^{-n}&=&
\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}
e^{i(2k+1)\pi/2n}\left(e^{-i(2k+1)\pi/2n}x
-e^{i(2k+1)\pi/2n}x^{-1}\right)\\
&=&e^{in^{2}\pi/2n}
\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}
\left(e^{-i(2k+1)\pi/2n}x
-e^{i(2k+1)\pi/2n}x^{-1}\right)\\
&=&e^{in\pi/2}
\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}
\left(e^{-i(2k+1)\pi/2n}x
-e^{i(2k+1)\pi/2n}x^{-1}\right)
\end{array}
$$

$${(2)}$$に$${x=e^{i\theta}}$$を代入すると

$$
\begin{array}{}
e^{in\theta}+e^{-in\theta}&=&i^{n}
\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}
\left(e^{i[\theta-(2k+1)\pi/2n]}
-e^{-i[\theta-(2k+1)\pi/2n]}\right)
\end{array}
$$

ここで$${e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}=2i\sin\varphi}$$,
$${e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}=2\cos\varphi}$$であるから、

$$
\begin{array}{}
2\cos{}n\theta&=&(-2)^{n}
\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}
\sin\left(\theta-\dfrac{2k+1}{2n}\pi\right)\\
&=&2^{n}\displaystyle
\prod_{k=0}^{n-1}\sin
\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{n-2k-1}{2n}\pi
-\theta\right)\\
&=&2^{n}\displaystyle
\prod_{k=0}^{n-1}\cos
\left(\theta+\dfrac{n-2k-1}{2n}\pi\right)\\
\cos{}n\theta&=&2^{n-1}\displaystyle
\prod_{k=0}^{n-1}\cos
\left(\theta+\dfrac{2k-n+1}{2n}\pi\right)
\end{array}
$$

まとめ

$$
\begin{array}{}
\sin{}n\theta&=&
(-2)^{n-1}\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}
\sin\left(\theta-\dfrac{k}{n}\pi\right)\\
\cos{}n\theta&=&
2^{n-1}\displaystyle
\prod_{k=0}^{n-1}\cos
\left(\theta+\dfrac{2k-n+1}{2n}\pi\right)
\end{array}
$$