フラカの恒等式とその拡張

2025年1月3日 20:47

フラカの恒等式

任意の複素数$${x,\,y,\,z}$$に対して

$$
\begin{array}{}
|x|^{2}+|y|^{2}+|z|^{2}+|x+y+z|^{2}\\
=|x+y|^{2}+|y+z|^{2}+|z+x|^{2}
\end{array}
$$

が成り立つ。

[証明]

複素数$${z}$$の複素共役を$${z^{\ast}}$$とする。

$$
\begin{array}{l}
|x+y|^{2}+|y+z|^{2}+|z+x|^{2}\\
=2(|x|^{2}+|y|^{2}+|z|^{2})+x^{*}y+xy^{*}
\\\quad
+y^{*}z+yz^{*}+z^{*}x+zx^{*}\\
=|x|^{2}+|y|^{2}+|z|^{2}+|x+y+z|^{2}
\end{array}
$$

[証明終]

フラカの恒等式の拡張1

$${\{z_{i}\}_{i=1}^{n}}$$を任意の複素数とする。

$$
\begin{array}{}
L&=&
|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}+|z_{3}|^{2}+|z_{4}|^{2}\\
&&+|z_{1}+z_{2}+z_{3}|^{2}
+|z_{1}+z_{2}+z_{4}|^{2}\\
&&+|z_{1}+z_{3}+z_{4}|^{2}
+|z_{2}+z_{3}+z_{4}|^{2}\\
&=&4(|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}
+|z_{3}|^{2}+|z_{4}|^{2})
+2\displaystyle\sum_{\substack{
i,j=1\\i\ne{}j}}^{4}z_{i}z_{j}^{*}\\
R&=&|z_{1}+z_{2}|^{2}+|z_{1}+z_{3}|^{2}
+|z_{1}+z_{4}|^{2}\\
&&+|z_{2}+z_{3}|^{2}+|z_{2}+z_{4}|^{2}
+|z_{3}+z_{4}|^{2}\\
&&+|z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}|^{2}\\
&=&4(|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}
+|z_{3}|^{2}+|z_{4}|^{2})
+2\displaystyle\sum_{\substack{
i,j=1\\i\ne{}j}}^{4}z_{i}z_{j}^{*}
\end{array}
$$

したがって、$${L=R}$$が成り立つ。

以下$${n≧5}$$とする。

$${1\le{}i_{1},\,i_{j}<{}i_{j+1},\,i_{k}\le{}n}$$を満たす$${k}$$個の整数の組全体の集合を$${A_{k,n}}$$、$${\bm{i}_{k}:=(i_{j})_{j=1}^{k}}$$とする。

$$
\begin{array}{}
\displaystyle
\left|\sum_{j=1}^{k}z_{i_{j}}\right|^{2}=
\sum_{j=1}^{k}\left|z_{i_{j}}\right|^{2}
+\sum_{j=1}^{k}\sum_{j'=j+1}^{k}
(z_{i_{j}}^{*}z_{i_{j}}+z_{i_{j}}z_{i_{j}}^{*})
\end{array}
$$

であるから、$${k≥2}$$を満たす任意の$${k}$$に対して、

$$
\begin{array}{}
\displaystyle\sum_{\bm{i}_{k}\in{}A_{k,n}}
\left|\sum_{j=1}^{k}z_{i_{j}}\right|^{2}
=\displaystyle{}_{n-1}C_{k-1}\sum_{j=1}^{n}
\left|z_{i_{j}}\right|^{2}+_{n-2}C_{k-2}
\sum_{i\ne{}j}z_{i}^{*}z_{j}
\end{array}
$$

となる。したがって、

$$
\begin{array}{}
&\displaystyle\sum_{k=1}^{[(n+1)/2]}
\sum_{\bm{i}_{2k-1}\in{}A_{2k-1,n}}
\left|\sum_{j=1}^{2k-1}z_{i_{j}}\right|^{2}\\
=&\displaystyle\sum_{k=1}^{[(n+1)/2]}{}
_{n-1}C_{2k-2}\sum_{j=1}^{n}
\left|z_{i_{j}}\right|^{2}\\
&+\displaystyle\sum_{k=2}^{[(n+1)/2]}{}
_{n-2}C_{2k-3}\sum_{i\ne{}j}z_{i}^{*}z_{j}\\
=&\displaystyle2^{n-2}\sum_{j=1}^{n}
\left|z_{i_{j}}\right|^{2}
+2^{n-3}\sum_{i\ne{}j}z_{i}^{*}z_{j}
\end{array}
$$

$$
\begin{array}{}
&\displaystyle\sum_{k=1}^{[n/2]}
\sum_{\bm{i}_{2k}\in{}A_{2k,n}}
\left|\sum_{j=1}^{2k}z_{i_{j}}\right|^{2}\\
=&\displaystyle\sum_{k=1}^{[n/2]}
{}_{n-1}C_{2k-1}\sum_{j=1}^{n}
\left|z_{i_{j}}\right|^{2}\\
&+\displaystyle\sum_{k=1}^{[n/2]}
{}_{n-2}C_{2k-2}\sum_{i\ne{}j}z_{i}^{*}z_{j}\\
=&\displaystyle2^{n-2}\sum_{j=1}^{n}
\left|z_{i_{j}}\right|^{2}
+2^{n-3}\sum_{i\ne{}j}z_{i}^{*}z_{j}
\end{array}
$$

となる。よって、

$$
\begin{array}{}
\displaystyle\sum_{k=1}^{[(n+1)/2]}
\sum_{\bm{i}_{2k-1}\in{}A_{2k-1,n}}
\left|\sum_{j=1}^{2k-1}z_{i_{j}}\right|^{2}
=\sum_{k=1}^{[n/2]}
\sum_{\bm{i}_{2k}\in{}A_{2k,n}}
\left|\sum_{j=1}^{2k}z_{i_{j}}\right|^{2}
\end{array}
$$

以上より3以上の任意の正の整数$${n}$$に対して

が成り立つ。

おまけ　　二項係数について

二項係数$${_{p}C_{q}}$$に対して

$$
\begin{array}{}
\displaystyle\sum_{q=0}^{p}{}_{p}C_{q}
&=&\displaystyle\sum_{q=0}^{p}
{}_{p}C_{q}1^{q}1^{p-q}\\
&=&(1+1)^{p}\\
&=&2^{p}&\cdots①\\\\
\displaystyle\sum_{q=0}^{p}{}_{p}C_{q}
(-1)^{q}
&=&\displaystyle\sum_{q=0}^{p}
{}_{p}C_{q}(-1)^{q}1^{p-q}\\
&=&(1-1)^{p}\\
&=&0&\cdots②
\end{array}
$$

$$
\begin{array}{}
①+②&:&
\displaystyle2\sum_{q=0}^{[p/2]}
{}_{p}C_{2q}=2^{p}\\
&&\displaystyle\sum_{q=0}^{[p/2]}
{}_{p}C_{2q}=2^{p-1}\\
①-②&:&\displaystyle2\sum_{q=0}^{[(p-1)/2]}
{}_{p}C_{2q+1}=2^{p}\\
&&\displaystyle\sum_{q=0}^{[(p-1)/2]}
{}_{p}C_{2q+1}=2^{p-1}
\end{array}
$$

フラカの恒等式とその拡張