二次関数の頂点
二次関数の式が、
$${y=2(x+1)^{2}-5}$$
と与えられたとき頂点は、
$${ (-1,-5)}$$
となる。
ということを高校一年生の二次関数で習ったと思います。
では、ここで質問です。
「$${y=2(x+1)^{2}-5}$$のとき、なぜ頂点は$${ (-1,-5)}$$となるでしょう？」
このことを考えたことありますか？
正直、私自身は高校時代に考えたことがありませんでした。
大人になってから、ふと疑問に感じました。
それでは、さっきの質問について解説をしていきましょう。
この記事中では、「$${ x,y}$$は実数」とします。
解説
まず頂点とは、どういう点のことか確認してみましょう。
$${y=2(x+1)^{2}-5}$$のグラフを書くと、
となります。
このグラフの青色の線が$${y=2(x+1)^{2}-5}$$、赤色の点が頂点$${ (-1,-5)}$$です。
これは下に凸のグラフなので、頂点は最小値になります。
「では、$${y=2(x+1)^{2}-5}$$の最小値を求めてみましょう。」
式の形から$${ x}$$が変化すると、$${(x+1)^{2}}$$の部分のみが変化していきます。
これは実数を二乗した値なので、負の数になることはありません。
つまり、
$${(x+1)^{2} \geqq 0}$$
となります。
この不等式から、
$${(x+1)^{2} = 0}$$
のとき$${ y}$$は最小となります。
$${(x+1)^{2} = 0}$$より$${ x=-1}$$となります。
$${ x=-1}$$を$${y=2(x+1)^{2}-5}$$に代入すると、
$${y=2(-1+1)^{2}-5=-5}$$
となります。
つまり$${ x=-1}$$のとき最小値$${ -5}$$となります。
最小値となるときが頂点なので、頂点の座標は、
$${ (-1,-5)}$$
となります。
ここで、最小値となるときの$${ y}$$を求めるとき$${ x=-1}$$を代入しましたが、$${(x+1)^{2} = 0}$$を代入して、
$${y=0-5=-5}$$
としたほうが計算は楽になります。
また上に凸の場合は、頂点の位置が最大値となることを使えば、同様に考えることができます。
応用
今回の内容と同じように考えると、解けるようになる問題があります。
以下の問題を考えてみましょう。
問題
$${x^{2}-6xy+10y^{2}-14y+57}$$の最小値と、そのときの$${ x,y}$$を求めよ。
この問題、解けますか？
解き方は、まず平方完成を利用して、
$${x^{2}-6xy+10y^{2}-14y+57}$$
$${=(x^{2}-6xy+9y^2-9y^2)+10y^{2}-14y+57}$$
$${=(x-3y)^2+y^{2}-14y+57}$$
$${=(x-3y)^2+(y^{2}-14y+49-49)+57}$$
$${=(x-3y)^2+(y-7)^{2}-49+57}$$
$${=(x-3y)^2+(y-7)^{2}+8}$$
とします。
平方完成に関しては、別の記事に書いてあるので、わからない場合など読んでみてください。
「この式の形から、
$${x-3y=0}$$かつ$${y-7=0}$$
のとき最小となります。」
なぜか、わかりますか？
頂点の話のときと同じ理由です。
「$${ x,y}$$に関する項$${(x-3y)^2,(y-7)^{2}}$$が二乗となっているので、負の値になることはありません。」
つまり$${(x-3y)^2 \geqq 0}$$かつ$${(y-7)^{2} \geqq 0}$$
となります。
これらの不等式から、最小となるのは、
$${(x-3y)^2=0}$$かつ$${(y-7)^{2}=0}$$
となり、
$${x-3y=0}$$かつ$${y-7=0}$$
となります。
これらから、
$${x=21}$$かつ$${y=7}$$
のとき最小となります。
最小値は$${(x-3y)^2+(y-7)^{2}+8}$$に、
$${(x-3y)^2=0}$$かつ$${(y-7)^{2}=0}$$を代入して、
$${(x-3y)^2+(y-7)^{2}+8=0+0+8=8}$$
となります。
よって答えは、
$${x=21}$$かつ$${y=7}$$のとき最小値$${ 8}$$
となります。
まとめ
今回は$${y=2(x+1)^{2}-5}$$のとき、なぜ頂点は$${ (-1,-5)}$$となるのか、さらに同じ考え方で解ける問題について解説しました。
高校になると、いろいろな問題に対し、いろいろな解き方を覚えていくことになります。
しかし今回のように、考え方としては基礎的な内容と同じものもあります。
このことから、まずは基礎的な内容を深く理解することは大切なこととなります。
また、ただ覚えなきゃ、暗記しなきゃと思わないで、できるだけ基礎的な内容と関連づけて覚えるようにしましょう。
特に私自身、暗記が苦手なので、関連づけて覚えるようにしてました。
新しいことを覚えることも重要ですが、できるだけ「◯◯と同じように考えればいい」と思えるようにしましょう。