【算数・数学備忘録169】

恒等式

(a+b)(a-b)を展開すると(a+b)(a-b)=a^2-b^2になる。
x^2-8x+16を因数分解するとx^2-8x+16=(x-4)^2となる。

これらの等式のそれぞれの文字(a,b,c)にどのような数を代入しても成り立つ。このような等式が恒等式である。

(A)ax^2+bx+c=a´x^2+b´x+c´がxについての恒等式である⇔a=a´、b=b´、c=c´(B)ax^2+bx+c=0がxについての恒等式である⇔a=0、b=0、c=0

等式a(x+2)^2+b(x-3)+c=2x^2+11x-6がxについての恒等式になるように定数a、b、cの値を求める。

a(x+2)^2+b(x-3)+c=a(x^2+4x+4)+bx-3b+c=ax^2+4ax+4a+bx-3b+c=
ax^2+(4a+b)x+(4a-3b+c)

ax^2+(4a+b)x+(4a-3b+c)=2x^2+11x-6(xについての恒等式)

a=2 ①
4a+b=11 ②
4a-3b+c=-6 ③

①のa=2を②に代入すると　8+b=11 b=3となる。

a=2、b=3を③に代入すると 8-9+c=-6 c=-6+1= -5 よってa=2、b=3、c=-5となる。