４色問題を数式を使わず図形で証明してみた
４色問題は、地図を４つの色で塗り分ける際に、
隣接する地域が同じ色にならないようにするという問題です。
これを数式で証明しようとするのがナンセンスだと思うので
自分はモデルを使って証明しようと思います。
ちなみにこのアイディアが既出か分かりません。
あらかじめご了承ください。
ただ自分は中学生時代に
４色問題がコンピューターで証明されたと聞いてから
ひたすら空き時間を使って２０年考えてきました（ただの暇潰し）。
その集大成がこのアイディアです。
ようやく発表できて感無量です。
まずABCDが同時に接触している簡単な国を考えます。
４色で塗ることが必要な最小限の国です。
円の中にABCが存在してその外にDという大きな国が存在します。
それではこの状態をモデルに置き換えます。
ABCDが同時に接触している状態を数学では完全グラフと呼びます。
そのグラフを実際に書いてみるだけです。
Aが接触している国に線を引いて、
線が繋がっている国は接触しているため
違う色で塗る必要があると考えます。
それをABCD全てで行います。
このモデルに置き換えるときにルールが
いくつかありますが後で解説します。
ちなみに位置関係は完全に自由で
どの国がどこの位置にいてもいいです。
いわゆる同値の状態です。
最後にこのABCDと同時に接触するEという国が
存在するか考えます。
EがABCD全てと同時に接触できた場合５色必要で
出来ない場合４色で塗ることが可能になります。
それではこのモデルにおいて
Eから全ての国に線を引いてみたいと思います。
おや、おかしいですね。
C国に線を引こうとした場合だけ、
線を交差させる必要があります。
まぁ、気にせず線を引いちゃいますか、、、、、
と考えるとこのモデルに置き換えた意味がありません。
ここで新しいルールがあります。
この線は国同士が繋がっている状態を表すのであって
この線を飛び越えることは出来ず、
交差する場合は線を断ち切ってしまい
両国の関係が切断された状態になると考えます。
つまりE国は他の線と交差せず、
他の国の関係を変更することなく、
線を引く必要があります。
さてそれではC国と線を引くことが可能なのか？
これはモデルを分かりやすい形に配置してみると分かります。
このようにC国はABD国との関係によって
完全に周囲を覆われていることが分かります。
自分はこのカタチに置き換えたことこそが
４色問題の証明だと考えます。
いかなる国であってもABD国の線を乗り越えずに
C国と線をつなぐことはできません。
ちなみに位置関係は同値なので
Cの国には他のABDが入れ替わっても問題ありません。
ただのモデルなので位置は重要ではなく
線によって構成される関係が重要なわけです。
つまりどのような位置関係であっても
E国はABCDの３か国と同時には残り一つの国とは線を引けない、
接触できないことを意味しています。
以上です。この図が４色問題の根幹をなしています。
よってQ.E.D 証明終了となります。自分的にはですがｗ
もちろんここから本当にこの完全グラフが
ＡＢＣＤの関係と完全に同値なのか？
本当に証明できているのか？
検証する必要があります。
ただ自分はそこに興味はないです。
自分の２０年間の集大成はこの図に表れています。
これ以上の証明方法を自分は思いつきませんし、
思いつくつもりもありません。
自分の中では４色問題はこの図を持って完全に終わりました。
あとはみなさんが好きに考えるといいと思います。
ただこの図より簡単に直感的に理解できる証明方法は存在しないでしょう。
多分自分と同じようにこのような完全グラフを書いていて
なぜか線を交差させる必要があることに疑問を持った方が
おられると思いますがそれは４色問題に起因していると言えます。
それではここからは自分の予想、と発展について説明したいと思います。
が長くなったのでまた次の記事で解説したいと思います。
実はちょっとだけ続きがあります。
これは完全に自分の予想であってそれを証明する方法はないのですが
塗分けの方法についても考えやすくなるので紹介してみたいと思います。
あと実際にＡＢＣＤに対してＥが本当に同時に接触できないか、
モデルの線を交差するとはどういうことなのか、
実際に最初のＡＢＣＤの地図を用いて考えてみたいと思います。
本当に最後ですがこのモデルにおいて
Ｅを追加した後にＦやＧを追加するとどうなるのか？
その関係値は？
気になる方はご自分でお試しになると面白いかもしれません。
そこからこのモデルによる証明の不完全性が分かるかもしれません。
ここまでご覧いただきありがとうございます。
それでは次の記事でお会いしましょう。
最後と言ったがあれは嘘だ。
自分の言葉は半分は本当で半分は嘘だ。
余談ですが、最後の図ってゲームに出てきそうじゃありませんか？
Ｃの位置に重要なオーブ（キーアイテム）をおくと
ＡＢＣＤ全てが光って回転してなんか大仰な音をたてて
仕掛けが動きだして扉が開く。
そんなイメージが湧きました。それだけ