借金×借金が貯金になるのおかしくない？
子「借金×借金が貯金になるのおかしくない？」
親「なんだい突然。どうしたの？」
子「今日中学校で負の数のかけ算を習ったんだ。負の数に負の数をかけると正の数になるんだってさ。けどさ、それって変じゃない？借金に借金をかけたら貯金になるってどういうこと？」
親「なるほどね。そこはみんなが悩むところだよね。そういうもんだって覚えても良いんだけど、せっかくだからちゃんと考えてみよう。
親「そもそもさ、お金にお金をかけるってどういうことだと思う？」
子「100円玉を3つ貯金したら+100×3=+300だから300円の貯金でしょ」
親「そうだね。その式だと100は100円を表しているね。+100は100円の貯金と考えていい。じゃあ100×3の3は何を表しているのかな？」
子「ええっと、３円？」
親「100円と3円があったら何円になる？」
子「100円と3円があったら103円だよね。あれ？足し算になっちゃった」
親「その通り。お金とお金で計算するときには、普通は足し算か引き算をする。貯金と貯金でも、借金と借金でもおんなじだね。100円入っている通帳に300円貯金したら、100+300=400円の貯金。-100円を100円の借金と呼ぶと、100円の借金に300円の借金を重ねたら、(-100)+(-300)=-400で400円の借金。これは文句ないだろ？」
子「それはわかった。じゃあ借金×借金はどうなるの？」
親「まず一度落ち着いて、足し算からよく見てみよう。100円の「円」や20kgの「kg」、4冊の「冊」のようなものを単位と呼ぶんだ。そして足し算や引き算はおんなじ単位の数同士でする」
子「足し算はもうわかったし、単位ってのも知ってるよ。けど、足し算は同じ単位でするのか。考えたことなかったな。まあそりゃそうだね。３センチの細い棒と１立方センチのサイコロを足したら、長さは3センチのままだし、体積も１立方センチからほとんど増えないはずだよね」
親「そういうこと。3冊の本と5個のリンゴの足したらいくつになるか、という問題もあったかもしれない。そういうのも、難しく考えると、ホントは足し算しにくいんだ。もしかしたら本は上下2巻セットかもしれない。それぞれを１個と考えるなら合わせて６個になるかもしれない。5個のリンゴを４つずつに切ったら20個になるかもしれない」
子「授業中にそういうめんどくさいこと言うやついたよ。先生や周りの気を引きたいだけなんだ。邪魔だし面白くもないし」
親「まあまあ、そういうやつもいるけど、ここはとても大事なところだからもう少しだけ聞いててよ。３冊の本を３冊＝３個と変換し、5個のリンゴと足して3個＋5個＝8個、という計算をしている。そうしないと足し算はできないんだよ」
子「そんなのみんな頭の中でやってるよ。当たり前じゃない」
親「じゃあ100円玉１枚と1円玉２枚を合わせると何枚？」
子「３枚」
親「何円？」
子「102円。そっか、100円玉を「100円」に変換したり、「１枚」に変換したりしてるのか」
親「1kmと10cmとか、同じ長さどうしでも1+10とやっちゃいけないこともある」
子「それはわかりやすいね。足し算は同じ単位のもの同士でやらないといけないんだね」
親「じゃあコーヒーに角砂糖を足して休憩しよう」
子「コーヒー１杯に角砂糖１個足してもコーヒーは１杯のままだね」
休憩
子「なんかいつの間にか足し算の話になっちゃった。借金に借金かけたらどうなるかそろそろ教えてよ」
親「だいぶ頭の準備ができてきたね。さあ最初の質問に戻ろう。お金にお金をかけるってどういうことだろう」
子「さっき、100円玉を3つ貯金したら+100×3=+300だから300円の貯金だった。ここまではあってる？」
親「あってる」
子「じゃあ貯金かける貯金は貯金でしょ。そしたら借金かける借金は・・・」
親「ちょっとまった」
子「何？」
親「100円玉は100円のお金でいい。３は何だ？」
子「この話、さっきもしたよね。でも３円じゃないぞ。３円と１００円なら足し算になる。３は100円玉3枚の３だから、3枚？」
親「その通り。3枚と100円を掛け算しているよね」
子「かけ算は違う単位のものをかけ算しても良いの？」
親「良い。というかむしろかけ算は異なる単位のもの同士でやるのが普通なんだ」
子「えーっ！？じゃあ借金と借金をかけるってどういうことだ？」
親「そもそもさ、100円に100円をかけるって意味もわからなくない？」
子「確かにそうだ。お金にお金をかけるっていうのは・・・」
親「ねえ、実は借金かける借金ていうのはとてもへんてこな計算だから、そんな計算をすることは現実にはないんだよ。１００円の貯金を３回するのも、３枚使うのも、3分間持ってるのもあり得るけど、100円の貯金を100円するって意味わからなくない？」
子「うーん、確かに・・・。なんかこんがらがってきた。じゃあ-100かける-3ってどういうこと？」
親「お金の損得はみんないつも考えているから、-100を100円の借金だと考えるのはとてもわかりやすい例えだよね。でもかけ算をしたいなら２つの種類のマイナスを持ってこないといけないんだ」
子「小学校で１つあたりの数かける個数でかけるんだってよく言ってたね。順番が大事とか」
親「かけ算の順番問題は気になるんだけどここでは置いておこう。でもこれまでも、かけ算する２つの数の単位は違ってたね」
子「たしかに。でも借金以外の負の数って温度くらいしかわからないよ。」
親「そうだよね。温度とお金をかけ算することもないよね」
子「じゃあかけ算できないじゃん」
親「そうなんだよ。だからマイナス×マイナスがプラスになることが本当にわかるために、まずは温度とお金以外のマイナスを理解するのが必要なんだ。」
子「温度とお金以外だと数直線とか？」
親「それもある。でも数直線や、高さ・深さ、好き嫌いなんかの考え方を足しても、負の数のかけ算は出てこない」
子「えーっ！？じゃあ何やると出てくるのさ」
親「温度、貯金額、数直線などは、「今どこにいるか」を表す量になる。そしてかけ算というのは「作業」をかけることが多いものなんだ」
子「なんじゃそりゃ。でもなんか長くなってきたね。ちょっとお水飲んできてもいい？」
休憩
親「今までの話をまとめよう。かけ算は異なる単位のものをかける。だからマイナス×マイナスを考えるためには２種類のマイナスを考えないといけない。そのためにマイナスの作業を理解する必要があるよ。ってことだった。」
子「うん」
親「最初の例に戻ろう。100円を３回振り込むと300円の貯金になる」
子「うん」
親「+100円を100円の貯金とすると、-100円は100円の借金と考えて良い」
子「うん。そこまではわかるんだよ」
親「そして100円にかけるのは「3回振り込む」のところだね」
子「そうだね。それもわかる。でもさ、じゃあ負の数のかけ算をするためには-3回振り込むっていうことを考えないといけないってこと？」
親「その通り。マイナスを、気温やお金以外のものでも考えるんだ。」
子「なんか難しいな」
親「まずは100円の借金についてもう少し考えよう。大事なのは、-100っていうのは+100の反対、ってことなんだ。」
子「そりゃそうだ。それくらいは僕だってわかってる」
親「「西に100 m」を+100 mと書くなら、「東に100 m」は-100 mとかける」
子「実はそのあたりからモヤモヤするんだよね。東を+100って書いちゃダメなのはなんで？太陽が昇る方向だから？」
親「別に東を＋１００ｍ、西を-１００ｍって書いても良い」
子「うーん、そしたら＋１００ｍって書いてもどっちかわかんなくなっちゃうじゃん」
親「その通り。北に１００ｍかもしれないし、南南西に１００ｍかもしれない。それは、その場その場で決めた、その場だけの約束事なんだ。
子「誰が決めるの？」
親「プラスとマイナスの方向は、問題に書いてあったら問題が決める。書いてなかったら自分で決めて良い。ただし、一度決めたらその問題の中では変えてはいけない。」
子「遊びのルールみたいなものね。キーパー無しってルールでサッカーはじめたら、途中でキーパー増やしたりするのはズルいよね」
親「そうそう、その通り。こういうのを数学では定義と呼ぶ。定義は、好きに決めて良いんだ」
子「でもさ、西に行く話をしているときのマイナスと、体重が増えた・減ったのマイナスとで、答えがかわっちゃうんじゃない？」
親「それが変わらないんだな～。いつでも(-100)×(-3)＝+300なんだよ」
子「どうして？絶対？」
親「絶対。正しく定義すればね。数学って言うのはそういう絶対に正しいものを追求する学問なんだ。」
子「なんか難しいこと言い出したね。よくわからないよ」
親「ごめんごめん。ここは大事なところなんだ。今は西と東、上と下、貯金と借金という正反対のものがあったら、片方をプラス、反対をマイナスと君が決めて良いんだよ。って話だったね。
子「まあそこまではわかった」
親「じゃあお金の振り込みの反対は？」
子「お金を引き出す」
親「３回振り込むのを＋３とするなら、－３は？」
子「３回引き出す」
親「そのとおり。次。３日先の未来を＋３とすると、ー３は？」
子「３日前の過去」
親「わかってるじゃん」
子「うーん、とするっていうのが、さっきいってた定義ってやつなの？」
親「お、鋭い。その通りだ」
子「３回振り込むのを＋３とする、っていうのは、誰が決めても良いけど、問題に書いてあったら問題が決める。書いてなかったら自分で決めて良い。ただし、一度決めたらその問題の中では変えてはいけない。だっけ。」
親「そうだ」
子「３回振り込むのが＋３なら、三回引き出すのが－３っていうのは自動的に決まるの？」
親「これは自動的に決まる。マイナスの数はプラスの数と完全に反対で無いといけない」
子「うーん、そこまではわかったかな。。。ただなんかまだモヤモヤする。反対って何？振り込みの反対は引き出しって絶対なの？他に反対のものは無いの？ちょっと不安になってきた」
親「君の今の不安は、正の数・負の数を理解するために一番大事なポイントだ。ー３ってのは、「－３の後に＋３をやったら元に戻るもの」のことだ」
子「それも定義？」
親「そう、中学校の教科書には書いていないけど、大学生くらいになればきちんと説明されて定義されるルールだ」
子「－３をやって＋３をやったら元に戻るってことは、３回振り込んで三回引き出したら元に戻るから、３回引き出すが－３ってことか」
親「そう。これがさっきちょこっと言っていた作業、という意味なんだ」
子「＋３の作業やってもう一度なんかやって元に戻るものがー３か。あたりまえっちゃ当たり前だけど、迷ったときにルールがあると安心だね。３日分未来に行ってそこから３日分過去に戻ったら何もしないのと同じだから、－３は３日過去ってことね」
親「そうだ」
子「４日過去を＋４にしたら、4日未来が－４になるけど良いの？」
親「さっきの定義と違うけど、別の場所でやるなら良い。」
子「借金を+100円、貯金を-100円でも良いの？」
親「全く問題無い。負の数は悪いもの、ネガティブなもので無くても良いんだ。正の数が不幸なもので、負の数が幸せなものでも全く構わない」
子「でもそんな例あるかな」
親「いっぱいある。例えばダイエットの広告にはデカデカと-15kg！とか書いてるよ」
子「女の人は痩せたがってるもんね。そんで若く見られたがってる」
親「そうだね、体内年齢-10歳みたいなのもあるね」
子「負の数ってのは、正の数の反対。それだけの意味なんだ」
親「もう準備はバッチリだ。100円玉を３回貯金したら300円の貯金になる。つまり(+100) × (+3) = (+300) となる。そしたら(-100) × (-3) はいくつになるか、少し休憩してリフレッシュしてから考えよう」
休憩
子「よし、じゃあ(-100) × (-3) を考えてみるよ。最初の-100は100円の借金。-3は３回引き出すこと」
親「そうだね」
子「あれ？100円の借金をひきだすってどういうことだろう」
親「ちょっとわかりにくいね。こういう時は「マイナスは反対」ってのを思い出そう。-100×3＝-300だから、100円の借金を預けたら100円借金が増える。」
子「そりゃそうだ」
親「じゃあその反対だから・・・」
子「100円借金が減るのか。借金を引き出すというか借金を減らすって考えたら良いのかな」
親「ばっちりだ。マイナスなんだから預けるの反対であることが大事で、引き出すでも良いし、無くすでもよい。それを３回やるのが-3をかけるってことだから」
子「借金が300円減る」
親「ってことは？」
子「貯金が300円増える」
親「正解」
子「100円の借金を増やすのが-100を足す。0+(-100)=-100ってやつね。100円の借金を減らすのが-100円を引く。0-(-100)=+100。貯金が100円増える。それを３回やるのが-100×(-3)=+300。」
親「完璧だ」
子「なんかあっけないな」
親「そうよ。だから教科書にも問題集にも特に詳しく書いてない。でも本当はこれくらい考えて納得する必要があることなんだ。君がモヤるのは間違っていない」
子「定義の話があったけど、貯金を-100にしても、西を-100にしてもやっぱり-3をかけたら+300になるの？」
親「もう何となくわかってるだろ。-100というのは100の反対。-3というのは+3の反対。-100×-3は100の反対に3の反対の操作をかけるから、反対の反対でプラスになる」
子「なんとなくわかった気がしてきたよ。でもさ、最初の質問は結局どうなったんだっけ。借金×借金ていうのも、もしできれば、やっぱりプラスになるって考えても良いの？」
親「そう考えてもいい。でもそれはもう貯金では無い。っていうか借金×借金はもはやお金では無い」
子「どういうこと？」
親「同じ単位のもののかけ算はほとんど無いっていうことをさっき説明したね。でも全く無いわけでは無い。君になじみがあるのは面積の計算だろう。タテ３cm×ヨコ５cmの直方体の面積は？ってやつ。これは長さ×長さだ。そして答えは長さではないよね。面積だ。出てきた数字は15平方センチという面積で、元の長さとは別のものだ。」
子「確かに面積になったけど、距離と面積って似たようなものじゃない」
親「いや、全く違うものだ。３センチと15平方センチは、足すこともできないよね。
子「まあね。さっきやったね」
親「ていうかそもそも３センチと15平方センチでは大小を比べることすらできない」
子「え！？あ、まあそうか。大小の比較も単位を揃えないといけないのか」
子「じゃあさ、センチかけるセンチが平方センチになるなら、お金かけるお金は平方円になるの？」
親「まあそうだろうね」
子「平方円てなんだ？よくわからない」
親「だからよくわからないものだ。無理矢理考えたければ考えても良い。但し貯金でも無ければ100円より多いとも少ないとも言えない、全く別のものだ」
子「さっきはそんなものは無いって言ってたじゃん」
親「そんなものは無いって言ってしまっても良い。ただね、数学って「そんなものはない」ってものを無理矢理考えて発展してきたんだ。だから数学が好きな人は「そんなものは無い」って言わずにその変なものを考えるのが好きなんだ。だから繰り返すけど、無理矢理考えても良い。でもお金では無いべつのものだ」
子「ふーん。まあいいや。最初の質問の借金×借金は正の数にはなる。でもよくわからない平方円というもので、貯金にはならない。こういうこと？」
親「その通りだ」
終わり