差分和分について⑤【練習問題】

練習問題

瞬間部分和分の練習として、次の問題を解きます。

$$
\sum_{k=1}^n k^2\cdot3^{k-1}
$$

求める和を、定和分を用いて表します。

$$
\sum_{k=1}^n k^2\cdot3^{k-1}
=\sum_1^{n+1}x^2\cdot3^{x-1}\delta x
$$

区間が変化することに注意が必要です。次に、被和分関数の不定和分を瞬間部分和分で求めます。$${f(x)=3^{x-1},g(x)=x^2}$$と考えます。

$$
\begin{align*}
\sum 3^{x-1}\cdot x^2\delta x=\frac{3^{x-1}}{2}\cdot x^2-\frac{3^{x}}{4}\cdot(2x+1)+\frac{3^{x+1}}{8}\cdot 2+C
\end{align*}
$$

各項の符号の変化、$${f(x)}$$の引数の変化、指数関数の和分公式や、ベキ関数の差分公式を思い出すと良いと思います。

したがって、

$$
\begin{align*}
\sum_{k=1}^n k^2\cdot3^{k-1}=&\sum_1^{n+1}x^2\cdot3^{x-1}\delta x\\
=&\bigg[\frac{3^{x-1}}{2}\cdot x^2-\frac{3^{x}}{4}\cdot(2x+1)+\frac{3^{x+1}}{8}\cdot 2\bigg]_1^{n+1}\\
=&\frac{1}{2}\{(n^2-n+1)\cdot3^n-1\}
\end{align*}
$$

と求められます。

引数をずらさないといけないので、少し作業が複雑ですが、積分をするときと同じようにして数列の和を求められるのでとても面白いです。

おわりに

本当は、他で解説されているように、下降階乗のことも書きたかったのですが、やる気が出ないので気が向いたらやろうと思います。下降階乗の形$${x(x-1)(x-2)\cdots(x-(n-1))}$$は、ベキ関数$${x^n}$$の形に比べると差分を求めやすいので(①の差分の導入の回で、差分の具体例を羅列したときに、規則性がある部分があったと思います。あれが下降階乗です。)ベキ関数を下降階乗の和に展開するみたいなこともやってみたかったですが、また今度にします。ありがとうございました。