すべての自然数は等しい？

さて、今回はみなさんに驚愕の事実をお伝えしようと思う。

なんと、「0とすべての自然数は等しい」のである。

「何をバカなこと言ってるんだよ」と思う方。
では、実際にそれを証明してみよう。

まず、

$${x = 0}$$とおく。

これを両辺、二乗すると、

$${x^2 = 0^2 = 0 = x}$$

となり、

$${x^2 = x}$$

が導かれる。この両辺を$${x}$$で割ると、

$${x = 1}$$

すなわち、

$${x=0=1}$$

であることが示せた。

次にこの$${x}$$を無限に足していく$${y}$$を考える。すなわち、$${y}$$は以下のように表せる。

$${y=x+ x+ x+ x+・・・}$$

$${x=0=1}$$であることを示しているので、この$${x}$$には0と1いずれを代入しても良い。

よって以下のことが示せる。

$${y=0+0+0+0+0+・・・+0=0}$$

$${y=1+0+0+0+0+・・・+0=1}$$

$${y=1+1+0+0+0+・・・+0=2}$$

$${y=1+1+1+0+0+・・・+0=3}$$
・
・
・
・
・
$${y=1+1+1+1+1+・・・+1=∞}$$

よって、

$${0=1=2=3=・・・=∞}$$

であることが証明できた。
つまり、「0とすべての自然数は等しい」。■

さて、当然そんな訳はない。これはパラドックスの一種である。非常に面白いなと思ったので紹介してみた。
この証明は明らかに間違っている箇所がある。それを指摘出来るだろうか？

正解は↓に。

<正解>
明らかに間違っているのは、$${x^2 = x}$$の両辺を$${x}$$で割ってしまったところ。
最初に$${x=0}$$としているのだから、$${x}$$で割ってはいけない。
算数・数学の世界では、ある数を$${0}$$で割ることは定義されておらず、やってはいけない計算である。