福岡県｜公立高校入試確率問題２０２０

　下の図のような，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの４つのマスがある。また，箱の中に，[１]，[２]，[３]，[４]，[５]の５枚のカードが入っている。次の手順を１回行いコマを動かす。

手順
①　コマをＡのマスに置く。
②　箱から，同時に２枚のカードを取り出す。
③　取り出した２枚のカードの数の和だけ，Ａから，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ａ，…と矢印の向きにコマを１マスずつ動かす。

　ただし，どのカードを取り出すことも同様に確からしいとする。
　次の(１)，(２)に答えよ。

(１)　この手順でコマを動かすとき，コマがＤのマスに止まる場合の２枚のカードの組は全部で３通りある。そのうちの１通りは，２枚のカードが[１],[２]の組で，これを（１，２）と表すこととする。残りの２通りについて２枚のカードの組をかけ。

(２)　この手順でコマを動かすとき，ＡのマスとＣのマスでは，コマの止まりやすさは同じである。そこで，箱の中の５枚のカードを[１]，[２]，[３]，[３]，[５]の５枚のカードに変えて，手順を１回行いコマを動かす。
　このとき，ＡのマスとＣのマスでは，コマが止まりやすいのはどちらのマスであるかを説明せよ。説明する際は，樹形図または表を示し，コマがＡのマスに止まる場合とＣのマスに止まる場合のそれぞれについて，２枚のカードの組を全てかき，確率を求め，その数値を使うこと。

どうアプローチするか？

　問題文としては、誘導してくれているつもりなのでしょうが，確率の問題を解くオーソドックスなやり方で、
　　　分母がいくつになるか？（図表で全部を列挙）
　　　　　　↓　
　　　そのうち条件に合う分子がいくつあるか？
と淡々と進めていきましょう。

（１）は・・・？

　まずは偶然がいくつ起こるか？　同時に２枚のカードを取り出すのですから、偶然は２つ起こります。表をかいて考えましょう。
　同時に２枚取り出しますので、表はいじる、ペアを消すC型の表になります。

　表は次のようになります。和と、その結果とまるマスの記号を，それぞれの枠に書き入れておきます。

　ここまで準備をして（１）に答えるわけだが、Dのマスにとまるのは問題文の表現であらわせば、（１，２）のほか、（２，５），（３，４）ということになります。

（２）は？

　[３]が２枚あるので、２枚を[③]，[3⃣]と区別しておくと、同様に確からしいことを並べることができます。

　コマがAのマスに止まるのは，上の表のように（１，③），（１，3⃣），（③，５）（3⃣，５）の４通り、Cのマスに止まるのは同じように（１，５），（③，3⃣）の２通りです。表による説明は「答」のようになります。

答

（１）　（２，５），（３，４）　

（２）（例）　３が２つあり，この２枚を[③]，[3⃣]としておくと、[③]のカードと[3⃣]のカードがひかれることは，ほかの[１]，[３]，[５]のカードがひかれることと同様に確からしい。
　コマがＡのマスに止まるのは，２枚のカードの和が４か８の場合である。あてはまるのは表から（１，③），（１，3⃣），（③，５）（3⃣，５）の４通りであるから、コマがＡのマスに止まる確率は$${\dfrac{4}{10}=\bm{\dfrac{2}{5}}}$$
　一方，コマがＣのマスに止まるのは，２枚のカードの和が６の場合で、表から（１，５），（③，3⃣）の２通りであるから、コマがＣのマスに止まる確率は$${\dfrac{2}{10}=\bm{\dfrac{1}{5}}}$$で、これはコマがＡのマスに止まる確率より小さい。したがって、コマが止まりやすいのはＡのマスと言える。

　なお、福岡県教委は樹形図による解答例を示しています。説明する際は，樹形図または表を示し…となっているので、表でも図でもどちらでもよいでしょう。

https://www.pref.fukuoka.lg.jp/uploaded/life/520237_60203419_misc.pdf

応用編❷動かす②－循環型