基礎編25.5　【研究】５枚のうち３枚を同時に選ぶ

　袋の中に１から５までの数字が１つずつ書かれた５個の玉が入っている。この袋から玉を同時に３個取り出すとき，取り出した３個の玉に書かれた数の和が，袋の中に残った２個の玉に書かれた数の積より小さくなる確率を求めなさい。（愛知県2013Ｂ）

問題を解く前に・・・

　最初に断っておくと、これは「知っておくと便利」なテクニックであって、「知っておかないといけない」テクニック、というわけではありません。

　で、この問題のテクニックとしては「分母の出し方をけちる」、偶然を３つ起こすので樹形図…と思いきや「じゃない方」を考えると、偶然２つ起こしたことと同じで、そうすると表ですんじゃう、という省エネテクニックです。（ただし、最後に注意しますが、いつも使えるテクニック、ということではありませんので、あてはまるときは「来た来た、ラッキー」ぐらいに思っておいてほしいやつです）

まじめに解くと・・・

　樹形図はこうなります。（詳しくは基礎編２５。同じです）

　なので分母は１０。

　このうち、条件を考えると、取り出した方と残った方両方考えるので、残った方もリストアップしておきましょう。

　で。それぞれの和と積を考えて、和の方が積よりも小さい場合は・・・

４通り。なので、４／１０＝２／５

２／５

「じゃない方」を考えると、表が書ける

　ところが。何かと樹形図は使いづらいとぶつくさ言ってきている身としては、樹形図じゃなくて表で何とか済ませられないか、と考えているわけです。そうすると、実は「５個のうち３個を同時に取り出す」ことは、「５個のうち残る２個を選ぶ」ことと同じことでは・・・？　見方を変えると、何と「５個のうち３個を同時に取り出す」問題は、「５個のうち２個を同時に取り出す問題」と全く同じ、ってことです。

　まどろっこしいかも知れませんが，逆のことを考えてみましょう。「５個のうち（使わない）２個を同時に取り出す」ってことにしたら、・・・　そう、「残った３個を（使うものとして）選んだ」ことになりませんか？　

　３個同時に取り出すことは、残す２個を決めること同じになります。そして「５個のうち２個を同時に取り出す問題」は基礎編１５でやりました。

　なので、表が書けちゃうわけです。この考え方を持っていると、速く解けることがあります。

「残り物２つの表」で解いた時の分子は・・・　　

　〔1－2〕のマスは、1と2が残って、3，4，5が取り出された、と考えることにしましょう。そうすると、取り出した3個を上の段、残った2個を下の段に書いておくと、各マスはこんな感じになります。

　で、問題文のように、取り出した3個の和と、残った2個の積をそれぞれのマスについて計算することにしましょう。

　というわけで求める確率は4／10＝2／5というわけです。

問題を解いた後に

　樹形図や辞書式配列を書いていくのと「あ、じゃない方を考えると表で行ける！」と考えついて、条件を読み替えるのとどっちが楽か、という感じですね。

　ポイントとしては、考えることを少なくできる方が、計算は楽になるし、ミスも少なく防ぐことができます。

　「▲個から●個同時にとりだす」場合の数は、「▲個から（●個同時に取り出して）残った■個」の場合の数とと同じ・・・ということは、上を目指す人は知っておくとよいテクニックかも知れません。（ただし、気をつけてほしいのは、「5枚のうち3枚、6個のうち4個・・・」のように、残るのが2個・2枚のとき、それから「同時に取り出すとき」ですよ。単純に公式として覚えて、実際に使うときにワケわからなくなることはよくあります。テクニックにおぼれすぎないように。）

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