島根県｜公立高校入試確率問題2024

　図のようにＡ，Ｂ，Ｃと書かれた３枚のカードがある。太郎さんと花子さんは，次のルールでゲームをくり返して行うことにした。

ルール
・花子さんは，異なる３つの自然数を決めて，小さい方から順にＡ，Ｂ，Ｃのカードに書く。
・花子さんは，３枚のカードをよく混ぜ，太郎さんに１枚ひいてもらう。
・ひいた１枚のカードに書かれた数の２乗した数を，太郎さんの得点とする。
・残った２枚のカードに書かれた２つの数の積を，花子さんの得点とする。
・太郎さんと花子さんの得点を比べ，大きい方を勝ちとする。ただし，得点が同じときは引き分けとする。

　太郎さんのカードのひき方は同様に確からしいものとする。次の１～３に答えなさい。

１　太郎さんが３枚のカードから１枚ひくとき，Ａのカードをひく確率を求めなさい。
２　次の（１），（２）に答えなさい。
（１）　カードに書かれた数が，Ａは１，Ｂは２，Ｃは３のとき，太郎さんが勝つ確率を求めなさい。
（２）　カードに書かれた数が，Ａは１，Ｂは２，Ｃは４のとき，花子さんが勝つ確率を求めなさい。
３　太郎さんが勝つことの起こりやすさと，花子さんが勝つことの起こりやすさとが同じになるような，カードに書かれた３つの自然数の組を１組答えなさい。ただし，２の問題文中に出てきた数の組（１，２，３），（１，２，４）以外の組を答えること。

分類：融合Ａ３　因数分解・２次方程式　

１は確率の超基本問題

　Ａ，Ｂ，Ｃに何の数字が書いてあろうが、太郎さんが起こす偶然は、［Ａのカードをひく］か、［Ｂのカードをひく］か、［Ｃのカードをひく］かの３通りしかありません。そのうち［Ａのカードをひく］が起こる確率ですので、求める確率は$${\dfrac{1}{3}}$$。

２は，それぞれの状態について

　まず、（１）を考えてみます。カードの書いてある数は

です。でも、起こることがらは引き続き、［Ａ（１）のカードをひく］か、［Ｂ（２）のカードをひく］か、［Ｃ（３）のカードをひく］の３通りしかありません。それぞれの場合の点数をまとめてみます。

　太郎さんが勝つのは２通りですからその確率は$${\dfrac{2}{3}}$$

　続いて、（２）を考えます。

　同様に，それぞれの場合について点数を計算してみます。，

（１）の状態と違って、Ｂのカードをひいたら同じ点数になるので引き分けになります。花子さんが勝つ確率は$${\dfrac{1}{3}}$$。

（２）は３の前振りだった！

　この問題のポイントは，太郎がＡをひいたら必ず花子が勝ち，Ｃをひいたら必ず太郎が勝つ，ということです。（※下に補足あり）
　だったら、この二人が勝つ確率が同じになるのは？　　そう、残りのBをひいた場合はどちらも勝たない、つまりひきわけになるとき、ということです。上の問題の（２）が前振りになっていますね。
　というわけで、Ｂをひいたときに引き分ける条件を見つけることにしましょう。
　Ａ・Ｂ・Ｃのカードに書いてある数をそれぞれ$${a，b，c}$$としましょう。

　このとき得点が同点になる条件とは、つまり
$${b^2=ac}$$
になるように$${a，b，c}$$を１組見つければよいのです。ただし問題文に書かれているように（１，２，４）はもう使えません。
　自力でどう見つけましょう？　$${b}$$は$${a}$$よりも大きい自然数ですから２以上ということになりますね。そして$${b=2}$$のときの$${（a，b，c）}$$の自然数の組は（１，２，４）しかありません。
　では$${b=3}$$のときは？　（１，３，９）の１組です。１組書けばよいのでこれを書いてしまえば，解答は終わりです。
　ちなみに$${b=4}$$のときは（１，４，１６）と（２，４，８）の２組がありますし，$${b=6}$$のときは（１，６，３６）（２，６，１８）（３，６，１２）（４，６，９）の４組が見つかります。このあたりから１つ条件に合うものをあげればよいわけです。
　おれはすげーできますアピールのために（637，1001，1573）とか答えてももちろん○ですが，まあ，無駄な努力はしないでおきましょう。

補足

　みなさんの中には「太郎がＡをひいたら必ず花子が勝ち，Ｃをひいたら必ず太郎が勝つ」って本当？　と思っている人がいると思います。このことを中学数学で説明するのは（不等式の性質を習っていないので）直感に頼るしかないかな？
　問題文の条件から$${0 < a < b < c}$$なので，$${a < b ⇒ ac < bc}$$，$${a < c  ⇒  a^2 < ac}$$となり，$${a^2 < ac < bc}$$で、太郎がＡをひいたらいつも花子の勝ち，というわけです。
　同じように$${a < c　⇒　ab < bc}$$，$${b < c　⇒　bc < c^2}$$となり，$${ab < bc < c^2}$$となって、太郎がＣをひいたら必ず太郎が勝ち、となります。

答

１　$${\bm{\dfrac{1}{3}}}$$
２　（１）　$${\bm{\dfrac{2}{3}}}$$　　（２）　$${\bm{\dfrac{1}{3}}}$$
３　（１，３，９）（２，４，８）など