×兵庫県｜公立高校入試確率問題2022

【注記】　いつも兵庫県の確率問題で提示される確率現象は「樹形図や二次元の表などを利用して，起こり得る全ての場合を簡単に求めることができる程度の事象」を超えていて、２２年度もそうである。３階層ある樹形図をかいて４５通りも数えろというのか？　しかも今回は融合問題。求める図形の知識もレベルは高いし列挙するのに見落としがちであり、確率の問題と言うよりも「見落としていないかチェックするために確率で求めさせている」という体の問題である。そのために、確率の問題としては上記の程度を「逸脱」をしていて、他の都道府県の公立受験のための練習問題には全くならない。…ということを最初にお断りをして、解説をしていく。（図形の問題として見ると歯ごたえがあって、よいのかも知れないけどね）

　異なる３つの袋があり，１つの袋には[Ａ]，[Ｂ]，[Ｃ]，[Ｄ]，[Ｅ]の５枚のカード，残りの２つの袋にはそれぞれ[Ｂ]，[Ｃ]，[Ｄ]の３枚のカードが入っている。
　それぞれの袋から１枚のカードを同時に取り出すとき，次の問いに答えなさい。
　ただし，それぞれの袋において，どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとする。
(1)　取り出したカードの文字が３枚とも同じ文字となる取り出し方は何通りあるか，求めなさい。
(2)　図のように，全ての辺の長さが２cmである正四角すいＡＢＣＤＥがある。それぞれの袋から取り出したカードの文字に対応する正四角すいの点に印をつけ，印がついた点を結んでできる図形Ｘを考える。異なる３点に印がついた場合，図形Ｘは三角形，異なる２点に印がついた場合，図形Ｘは線分，１点に印がついた場合，図形Ｘは点となる。
①　図形Ｘが，線分ＢＣとなるカードの取り出し方は何通りあるか，求めなさい。
②　図形Ｘが線分となり，それを延長した直線と辺ＡＢを延長した直線がねじれの位置にあるカードの取り出し方は何通りあるか，求めなさい。
③　図形Ｘが，面積が２$${cm^2}$$の三角形となる確率を求めなさい。

分類：融合Ｂ１、Ｂ３

（1）は、まだ何とか・・・

　樹形図を書かなくても何とか、3つの袋ともに［B］［C］［D］が出る3通り、というところは、いけるかな？

（２）は見落としがち・難しい問題ばかり

①は？

　３つの袋からＢとＣしか出てこない場合ということですね。樹形図から（★印）６通り。

②はＥＣを忘れずに

　ＡＢとねじれの位置にある線分となるのはＣＤかＥＤ、そしてＥＣですから、そうなる場合は樹形図から（●印）８通り。

③は，△ＡＢＤの存在＆三平方の定理

　この問題は、面積が２$${cm^2}$$の三角形となるのが
●底面の4つの頂点のうち、3点が選ばれる場合　
　　△BCD、△BCE、△BDE、△CDE
●点Aと底面の対角線の２点が選ばれる場合
　　△ABD、△ACE
（ここまで気づくのも難しいけど・・・）
　こうなるのは、樹形図から１４通り。したがって、求める確率は$${\dfrac{14}{45}}$$。　

答

（１）　３通り
（２）　①６通り　　②８通り　　③$${\bm{\dfrac{14}{45}}}$$