千葉県｜公立高校入試確率問題2021

　大小２つのさいころを同時に１回投げ，大きいさいころの出た目の数を$${a}$$，小さいさいころの出た目の数を$${b}$$とする。
　このとき$${\dfrac{a+1}{2b}}$$の値が整数となる確率を求めなさい。ただし，さいころを投げるとき，１から６までのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。

分類　１１「分子判定の基礎⑥」代入その１

大小２つのさいころなので表

　まず大小２つのさいころなので、表を書いて考えるところまではよいでしょうか。

　あとは、出る目それぞれについて、地道に代入して考えることにしてみましょう。

　表で考えるときに、その書き方には工夫がいるかもしれません。ここでは$${a}$$が１のとき条件の分子$${a+1}$$＝２・・・$${b}$$が３のとき条件の分母$${2b}$$＝６・・・，というのをそれぞれいったん書いておいて、それを各枠で分数にしていくというやり方で、表をつくってみました。これを書かずにいちいち代入すると面倒で、このように分子と分母が各行・各列で何になるかを書いておくと，分数にするときに機械的に操作ができるよさがあります。
　こうした表をかかずに暗算に頼る人もいますが、目で見ながらチェックができるようにちょっとスピードを落としてでも丁寧に書いた方が、ミスを防げると思います。

【研究】条件から迎えに行けるか

　さて、たぶんこうやって表にどんどん入れていくよりも，分数が整数になる場合はどんな場合か、条件にあてはまる場合を探す「条件から迎えに行く」アプローチで、あてはまる場合を絞っていく方向で考えてみましょう。

　分母は偶数なので分子も偶数である必要があります。なので$${a}$$は奇数の場合を考えればよいです。
　分子の最大は６ですので、分母の最大も６，つまり$${b}$$の最大は３になります。
　ここまで条件を絞っておけばあとは$${a}$$からでも$${b}$$からでも，あてはまる場合を考えて行けばいいでしょう。

　まずは$${a}$$から考えて行く発想で条件を満たす場合を探してみましょう。
$${a}$$＝１のときは分子$${a+1}$$＝２、$${\dfrac{a+1}{2b}}$$が整数になるのは$${2b}$$＝２つまり$${b}$$＝１のときだけ。
$${a}$$＝３のときは分子$${a+1}$$＝４、$${\dfrac{a+1}{2b}}$$が整数になるのは$${2b}$$が２か４であればOK。つまり$${b}$$＝１と$${b}$$＝２だったら条件を満たす。
$${a}$$＝５のときは分子$${a+1}$$＝６、$${\dfrac{a+1}{2b}}$$が整数になるのは$${2b}$$が（偶数なので）２か６ならよい。つまり$${b}$$＝１と$${b}$$＝３で成り立つ。
　つまり（a,b）の組は（１，１）（３，１）（３，２）（５，１）（５，３）の５通り。

　$${b}$$から絞っていく方向だったらどうでしょうか。
$${b}$$＝１のときは分母$${2b}$$＝２、$${\dfrac{a+1}{2b}}$$が整数になるのは$${a+1}$$が２か４か６のとき、ということになる。つまり$${a}$$が１か３か５のとき、ということになる。
$${b}$$＝２のときは分母$${2b}$$＝４、$${\dfrac{a+1}{2b}}$$が整数になるのは$${a+1}$$は８以上にはならないので４のときだけとなり、$${a}$$＝３のとき。
$${b}$$＝３のときは分母$${2b}$$＝６、$${\dfrac{a+1}{2b}}$$が整数になるのは$${a+1}$$が６のときだけ。つまり$${a}$$＝５のときということになる。
　つまり（a,b）の組は（１，１）（３，１）（５，１）（３，２）（５，３）の５通り。（上のと、順番がちがうだけですね）

　$${a}$$や$${b}$$の条件が絞る力があるなら，このどちらの方向で攻めてもいいのではないでしょうか。ポイントは，いろんな攻め方を知っていること，思いついて使えるようになること、と思います。

答

$${\bm{\dfrac{５}{３６}}}$$