神奈川県｜公立高校入試確率問題2020
神奈川県の確率問題は，ここ数年、ここでの分類「応用問題」か「融合問題」の形で出題されています。この年も立体図形（＋三平方の定理？）との融合問題。
右の図１のように，正方形ＡＢＣＤを底面とし，ＡＥ＝ＢＦ＝ＣＧ＝ＤＨを高さとする立方体がある。
また，図２のように，袋Ｐと袋Ｑがあり，その中にはそれぞれＢ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇの文字が１つずつ書かれた６枚のカードが入っている。袋Ｐと袋Ｑからそれぞれ１枚ずつカードを取り出し，次の【ルール】にしたがって，図１の立方体の８個の頂点のうちから２個の点を選ぶ。
【ルール】
袋Ｐと袋Ｑから取り出したカードに書かれた文字が異なる場合は，それぞれの文字に対応する点を２個の点として選ぶ。
袋Ｐと袋Ｑから取り出したカードに書かれた文字が同じ場合は，その文字に対応する点および点Ｈを２個の点として選ぶ。
いま，図２の状態で，袋Ｐと袋Ｑからそれぞれ１枚ずつを取り出すとき，次の問いに答えなさい。ただし，袋Ｐと袋Ｑそれぞれについて，袋の中からどのカードが取り出されることも同様に確からしいものとする。
(ア) 選んだ２個の点が，ともに平面ＡＢＣＤ上の点となる確率を求めなさい。（選択肢方式から改題）
(イ) 選んだ２個の点および点Ａの３点を結んでできる三角形についてその３つの辺の長さがすべて異なる確率を求めなさい。
偶然２つなので、まずは表をかいてみる
袋Pからも、袋Qからも１枚ずつ、２つの偶然が起こりますので、まずは表をかいてみます。各マスには「選んだ２つの点」を書きます。
（ア）は・・・
２点が平面ABCD上にあると言うことは、結局、選んだ２点がどちらもBかCかDのどれかであること、と同じことですね。
あてはまるのは，次の表のようになります。
求める確率は$${\dfrac{6}{36}=\bm{\dfrac{1}{6}}}$$
（イ）は・・・
実際に、各マスについて確認をしてみましょう。ただし、時間はかかりそうです。
調べるのは・・・
このとき、ポイントなのは，PとQで違うものが出てきたときに「右上」にあるマスト「左下」にあるマスで、同じ三角形となっているものが２つずつできているので、確かめるのはそのうちの一方でよい、ということ。こうすることで、確かめる三角形の数はかなり減ります。
３つの辺の長さを確かめていくと・・・
実際に確かめていくと、次の３種類の「長さ」の辺があることがわかると思います。
① 立方体の１辺と同じもの
②（同じ平面上で）側面の正方形の対角線と同じもの
③（同じ平面上にない）立方体のいちばん遠いところどうしの点を結ぶもの
この３種類で構成されるものであることを意識してチェックすると，次の表のようになります。
（三平方の定理を使って実際長さを求めてもいいのでしょうが、この問題では結局3種類あって、分類できることが大切なので、実際の線分の長さは求めないでおきます）
左下のも、チェックはしていませんが，右上でOK担ったものを数え直すのを忘れないこと。条件を満たしているのは１６通りあります。求める確率は、$${\dfrac{16}{36}=\bm{\dfrac{４}{９}}}$$
答
（ア） $${\bm{\dfrac{１}{６}}}$$ （イ） $${\bm{\dfrac{４}{９}}}$$
問題を解いたあとに・・・
もうちょっとスッキリ解けないか？ というのは研究してみてもいいかもしれません。
（ア）はPかQで、E・F・Gどれか1つでも出たらアウトなので消す、同じものが出てもHが入ってくるとアウト、ということで考えると、つぎの6つしか残らない，と考えてもよいでしょう。
（イ）は，上に書いた①・②・③での組み合わせ、というアプローチで行くと、③にあてはまるのはAG・BH・FD・ECの4つしかないので，ここから絞っていくといいかもしれません。
●AGを使う場合
もう1点がB・C・D・E・F・Hどの場合でも条件に合います。
ですから、選ばれる２点がBG・CG・DG・EG・FG・HGいずれの場合もOKということになります。（BG・CG・DG・EG・FGは各２通り、HGはPからもQからもGをひく１通りで、合わせて１１通り。）
●BHを使う場合
条件に合っています。ですから、選ばれる２点がBBの場合はOKということになります。（両方からBを取り出す１通り）
●FDを使う場合
条件に合っています。ですから、選ばれる２点がFDの場合はOKということになります。（２通り）
●ECを使う場合
条件に合っています。ですから、選ばれる２点がECの場合はOKということになります。（２通り）
というわけで、合わせて１６通りということになります。PとQで同じものをひいたときの扱いが，ちょっと問題を複雑にしていることもわかりますね。
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