鹿児島県｜公立高校入試確率問題2023

　下の図で，放物線は関数$${y=\dfrac{1}{4}x^2}$$のグラフであり，点Ｏは原点である。点Ａは放物上の点で，その$${x}$$座標は４である。点Ｂは$${x}$$軸上を動く点で，その$${x}$$座標は負の数である。２点Ａ，Ｂを通る直線と放物線との交点のうちＡと異なる点をＣとする。点Ｃの$${x}$$座標がー２であるとき，次の問いに答えなさい。

（１）　点Ａの$${y}$$座標を求めよ。

（２）　点Ｂの座標を求めよ。ただし，求め方や計算過程も書くこと。

（３）　大小２個のきいころを同時に投げ，大きいさいころの出た目の数を$${a}$$，小さいさいころの出た目の数を$${b}$$とするとき，座標が（$${a}$$ー２，$${b}$$－１）である点をＰとする。点Ｐが３点Ｏ，Ａ，Ｂを頂点とする△ＯＡＢの辺上にある確率を求めよ。ただし，大小２個のさいころはともに，１から６までのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。
※（３）の確率に関係する問題だけに改題

分類　融合Ｃ３　放物線・双曲線

（１）まずはＡの座標を求めよう

　まず点Ａの座標を求めます。放物線$${y=\dfrac{1}{4}x^2}$$上にあり、$${x}$$座標が４である点を求めればいいので、$${x=4}$$を$${y=\dfrac{1}{4}x^2}$$に代入すればよいでしょう。$${y=\dfrac{1}{4}×4^2=4}$$ですから、点Ａの$${y}$$座標は４です。

（２）点Ｂと点Ｃの座標を勘違いしないように

　点Ｂはどうでしょう。まずは点Ｃの座標を求めます。放物線$${y=\dfrac{1}{4}x^2}$$上にあり、$${x}$$座標が－２である点ですので、$${x=-2}$$を$${y=\dfrac{1}{4}x^2}$$に代入すればよいです。$${y=\dfrac{1}{4}×(-2)^2=1}$$ですから、点Ｃの座標は（－２，１）。直線ＡＣと$${x}$$軸との交点がＢですので、次に直線ＡＣの式を求めます。

 ２点（４，４），（－２，１）を通りますので、グラフの傾きは
           $${\dfrac{4-1}{4-(-2)}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}}$$
したがって、この１次関数は$${y=\dfrac{1}{2}x+b}$$と書くことができます。
グラフが（４，４）を通るので，上の式に，$${x}$$＝４，$${y}$$＝４を代入すると

$$
\begin{align*}
4&=\dfrac{1}{2}\times4+b\\
&=2+b\\
b &=4-2\\
\bm{b &=2}
\end{align*}
$$

よって、直線ＡＣの式は　$${y=\dfrac{1}{2}x+2}$$　です。（連立方程式を立てて求める方法でももちろんオッケーです）
　点Ｂは直線ＡＣと$${x}$$軸との交点ですので、この式に$${y=0}$$を代入して$${x}$$座標を求めると

$$
\begin{align*}
0&=\dfrac{1}{2}\timesx+2\\
\dfrac{1}{2}\timesx&=-2\\
x &=-2\times\dfrac{2}{1}\\
\bm{x &=-4}
\end{align*}
$$

　以上のように、点Ｂの座標は（－４，０）です。

（３）直線上で座標が整数になる点

点Ａと点Ｂの座標を求めることができました。さて、△ＯＡＢの辺上にある確率を求めることになります。点Ｐは$${x}$$座標がー１か０か１か２か３か４のどれかで、$${y}$$座標は０か１か２か３か４か５のどれか、ということです。その間で、線分ＯＡ上・線分ＡＢ上・線分ＢＯ上にある点を考えればよいわけです。具体的には次のようになります。

　表をかいて、その時の点Ｐの$${x}$$座標、$${y}$$座標も書き添えておきましょう。

　それぞれのマスには、座標が対応しています。意味としてはこういうことです。座標平面とは縦横や上下関係が狂っていますので、要注意。

　そのうち、線分ＯＡ上か線分ＡＢ上か線分ＢＯ上にある点に当てはまるのは、〇のところです。

　条件に当てはまるのは８通りですので、その確率を求めると$${\dfrac{8}{36}=\bm{\dfrac{2}{9}}}$$

答

（１）４　　（２）（－４，０）※求め方・計算は上記。
（３）　$${\bm{\dfrac{2}{9}}}$$