２４．５ 【研究】プレゼント交換の確率
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの４人がプレゼントを一つずつ持ちより，交換会を開く。プレゼントはすべて異なるものとし，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの４人が用意したプレゼントをそれぞれａ，ｂ，ｃ，ｄとする。交換の方法は，外見が同じギフト箱を４人分用意し，各箱にプレゼントを一つずつ入れたうえで，よく混ぜて４人に箱を一つずつ配り，４人は配られた箱の中のプレゼントを受け取る。交換の結果によっては自分が用意したプレゼントを受け取ることもある。
このとき，次の各問いに答えなさい。
ただし，ギフト箱の配り方は，同様に確からしいものとする。
問１ プレゼントの受け取り方は全部で何通りあるか答えなさい。
問２ Ａさんがａではないプレゼントを受け取る確率を求めなさい。
問３ Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの４人全員が，自分で用意したプレゼントを受け取らない確率を求めなさい。
４人でプレゼント交換
偶然はＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄの４人に起こりますから，樹形図をかいて考えることにします。
ですから，プレゼントの受け取り方は全部で２４通りとなります。
まあ，Ａさんがａが当たる６通りのところで，後３つ，と考えれば２４通り，と計算もできますが，この後の問題では，ぜんぶの樹形図がやっぱりほしくなるので，すべての場合をかいておきます。
自分のプレゼントは欲しくない
こういうプレゼント交換をするとき，一番避けたいのは，自分の用意したプレゼントが結局自分に回ってきてしまうことではないでしょうか？（自分の欲しいものを買っておいて，他人に当たったら，しれっと「それとこれ交換しない？」ってゲットしてしまう猛者も知っていますが。）
自分がAさんだったとして，自分のプレゼントａが当たってしまう場合は，さっきの樹形図で６通り。
ａが当たらない場合は１８通りですから，その確率は$${\dfrac{18}{24}=\dfrac{3}{4}}$$。そこそこの確率で自分のもってきたプレゼントが自分に当たるわけです。
みんな自分のプレゼントは欲しくない
では，ＢさんもＣさんもＤさんも，みんな自分で持ってきたやつじゃないのが当たる確率はどのくらいでしょうか。
やはりさっきの樹形図で数えてみると，当てはまるのは
９通りです。ですから，求める確率は$${\dfrac{9}{24}=\dfrac{3}{8}}$$。思ったよりは，ばらばらにあたるような気がしますが，皆さんはどうですか？
答
（１） ２４通り （２）$${\bm{\dfrac{3}{4}}}$$ （３）$${\bm{\dfrac{3}{8}}}$$
（問２）もう少しスピードアップするために
自分がAさんだったとして，自分のプレゼントａが当たらない場合ですが，もう少しあっさり考えることにします。
最初に自分（Ａさん）が４つのプレゼントのうち自分の用意したプレゼントａをふくむ４つのうちから１つ配られます。自分の受け取ったプレゼントが自分のものかどうかだけを考えてしまえば，自分のものではないのは４つのうち３つ，ということで確率$${\dfrac{3}{4}}$$と考えてしまえば，手っ取り早いですね。
このとき，ほかの人がどのプレゼントをもらおうが気にすることはないのです。（ちょっと自己中心的な態度ですが，数学の問題を早く解くにはその方がいい？）
問題を解いた後に
元ネタ・・・
プレゼント交換は，経験したことのある人も多いのでは，と思うので，問題の状況はイメージもしやすいでしょう。数学的には「完全順列・かく乱順列」と名前がついていて，大学入試でも顔を出します。
プレゼント交換の人数が増えれば増えるほど，自分自身が自分のもってきたプレゼントをもらう確率は，上の理屈からどんどん小さくなっていく，ということもわかるかと思います。$${n}$$人でプレゼント交換すれば，自分の用意したプレゼントａが当たる確率は$${\dfrac{1}{n}}$$となりますね。
では，（３）のように$${n}$$人でプレゼント交換したときに，参加した人全員が，自分の用意したプレゼントに当たらない確率はどのくらいでしょうか。
数学的に計算をすると，どんなに人数が増えても必ずどのプレゼントも，用意した人じゃない人の手元にわたる確率は36.8％よりも小さくならないのです。ちょっと不思議ですね。
https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/42/42-3.pdf
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