減法の意味（１）　教科書から

　正負の数の「減法」を考えるために、前提として、立式の意味としての減法と、絶対値計算のためのひき算を分けて考えなければいけない。

　ここでは便宜的に、小学校で習うたし算（非負数＋非負数）・ひき算（非負数ー非負数＝差が非負数）と、中学校で学習する負の数を含めた加法・減法を区別して表現する。

　なぜ立式の意味を考えるかというと、「その減法の式の答はこれだ！」ということを、減法の式の意味から説明するためであり、もっというと

●「＋２をひく」ことは「－２を加える」ことと同じ
●「－２をひく」ことは「＋２を加える」ことと同じ
● ある数から正の数または負の数をひくには，ひく数の符号を変えて加えればよい

というルールの根拠を説明するためである。

　各社の教科書を見ると、「①減法の式の意味」「②ひく数の符号を変えて加法になおす」それぞれの根拠がなかなか苦しい。

　引用等は、執筆時点の2021（令和3）年度版から。

減法は加法の逆算。数直線の矢印の向きを変えるのは天からのお告げ。

東京書籍）
　（＋８）－（＋５）＝□　は、□＋（＋５）＝＋８　の□にあてはまる式を求める計算。
　（＋２）－（＋５）＝△　は、△＋（＋５）＝＋２　の△にあてはまる式を求める計算。
　（＋２）－（－５）＝○　は、○＋（－５）＝＋２　の△にあてはまる式を求める計算。
→（原点のない、ベクトルどうしの）数直線の図になおす
→ひく数の矢印を反転させた図をもうひとつつくる
→（＋８）－（＋５）＝□　や　（＋２）－（＋５）＝△、（＋２）－（－５）＝○　は、（＋８）＋（－５）＝□　や　（＋２）＋（－５）＝△、（＋２）＋（＋５）＝○　と、たし算でも求められる。
→　このように、ひき算はたし算になおすことができる。

大日本図書）
　●＋２＝５　の　●にあてはまる数を求める式が　５－２
⇒　（＋５）－（＋２）＝□　は、□＋（＋２）＝＋５　の□にあてはまる式を求める計算。
　　（＋３）－（－２）＝△　は、△＋（－２）＝＋３　の□にあてはまる式を求める計算。
→　□＋（＋２）＝＋５　や　△＋（－２）＝＋３　となる□を、（原点から出発する）数直線を使って求める。
→　数直線の図でひく数の　＋２　や　－２　の矢印の向きを変えると、その式はどのように表されるか？　
　（＋５）－（＋２）＝□　→　（＋５）＋（？）＝□
　（＋３）－（＋２）＝△　→　（＋３）＋（？）＝△
→　この式を比べて、気づいたことを言いなさい。
　　・・・ひく数の符号を変えて加法になおすことができます。

　数研、教育出版、日本文教も概ねこの線。

（動いた結果）－（１回目の動き）＝（２回目の動き）　加法との関係は、神から気付き給えと。

学校図書）
 　(+5)-(+2)は、数直線上で考えると、（動いた結果）＋５は（１回目の動き）＋２から見て、正の向きへ３動いた位置→２回目の動きは＋３であることがわかります。
 　(+2)-(+5)は、数直線上で考えると、（動いた結果）＋２は（１回目の動き）＋５から見て、負の向きへ３動いた位置→２回目の動きは－３
　(+4)-(-2)は、＋４は－２から見て、正の向きへ６動いた位置→２回目の動きは＋６
　(-6)-(-2)は、－６は－２から見て、負の向きへ４動いた位置→２回目の動きは－４
　　　↓
　次に減法と加法の関係を調べてみましょう。・・・どれが同じになるかな？
→「＋５をひく」ことは，「－５をたす」ことと同じである。
　「－５をひく」ことは，「＋５をたす」ことと同じである。
→正、負の数の減法では，ひく数の符号を変えてたせばよい。

減法は○より□小さい数を求める計算　□小さい数⇔－□大きい数（ここは神のお告げ）　○より－□大きい数を求める計算は加法　

啓林館）
　減法○－（＋□）は○より□小さい数を求める計算、「□小さい数⇔－□大きい数」⇒○より－□大きい数を求める計算は加法○＋（－□）
　減法○－（－■）は○より－■小さい数を求める計算、「－■小さい数⇔■大きい数」⇒○より■大きい数を求める計算は加法○＋（＋■）
　　　　↓ 
負の数を使って表されたことばは、例えば「－３大きい・・・３小さい」のように、負の数を使わないであらわすことができます。
このことから、ある数より負の数だけ大きい数、小さい数についても考えることができます。
（中略）
ある点より負の数だけ大きい数、小さい数は、負の数を使わない言葉で表すと、正の数だけ小さい数、大きい数の場合と同じようにして、求めることができます。
（太字引用者）
↓
正の数・負の数をひくには，符号を変えた数をたせばよい。

　「符号を変えて加減を変換すれば、負の数の加減も求答できる」が、降って湧いてくるわけではない。むしろ、負の数の操作を正の数の操作に「置き換える」準備をして、その結果なのである。説明のための理屈を、正の数の大きい小さいしか知らない中１向けに、結構丁寧に示している、と言えるのではないか。
「減法などない！　あるのはベクトル操作だけだ！」