島根県｜公立高校入試確率問題2016

　図１のような正六角形ＡＢＣＤＥＦがある。下の１，２に答えなさい。

１　１つのサイコロを投げて出た目に対応する正六角形の頂点に点Ｐを置くこととする。ただし。サイコロの目と頂点との対応は表のとおりである。例えば，サイコロの出た目が１であるとき，対応する頂点はＡである。

　次の（１）（２）に答えなさい。

（１）　３点Ａ，Ｂ，Ｐを結んだとき，三角形ができる確率を求めなさい。

（２）　△ＡＢＰが直角三角形となるのは点Ｐがどの頂点にあるときか。そのような頂点をすべて求め，Ａ～Ｆで答えなさい。

２　大小２つのサイコロを同時に投げ，大のサイコロを投げて出た目に対応する正六角形の頂点に点Ｐを，小のサイコロを投げて出た目に対応する正六角形の頂点に点Ｑを置くこととする。ただし，それぞれのサイコロの目と頂点との対応は１の表と同じである。
　このとき，△ＡＰＱが直角三角形となる確率を求めなさい。

分類：融合《Ｂ２》円周角

（１）三角形ができるということは・・・？

　つまり、ＰがＡかＢ以外の点であればよいわけですから、ＣかＤかＥかＦのどれかであればよくて、３～６の４つの目のどれかが出ればよいわけです。起こりうるすべての場合は６通りで、そのどれが起こることも同様に確からしいですから、求める確率は$${\dfrac{4}{6}=\bm{\dfrac{2}{3}}}$$。

（２）３点を結ぶと直角三角形、ということは

　正六角形ということは、６つの頂点は１つの円の円周上にあります。
　円周角の問題として考えると、円周上の３点を結ぶと直角三角形になるということは、３点のうちの２点が中心をとおる直径になっていればよいのです。Ａと結ぶと直径になるのはＤ、Ｂと結ぶと直径になるのはＥですから、求めるのはこの２点がすべて、ということになります。

２はどうしましょう。

　１の（２）が上手に誘導してくれているので、△ＡＰＱが直角三角形になるということは、
（１）ＡＰが直径（つまり点Ｐは点Ｄ）
（２）ＡＱが直径（つまり点Ｑは点Ｄ）
（３）ＰＱが直径
のどれかであればよい、ということに気づくとよいわけです。ただし、
（甲）Ｐ・ＱのどちらかがＡ
（乙）Ｐ・Ｑが同一の点
となってしまってはそもそも三角形にはなりませんので、除外しなければなりません。
　２つのさいころを投げますので、まずは表をかいて、あとは条件を満たすものにチェックをしましょう。

　起こりうるすべての場合は３６通りで、そのいずれが起こることも同様に確からしいです。そのうち、条件に当てはまるのが１２通りですので、求める確率は$${\dfrac{12}{36}=\bm{\dfrac{1}{3}}}$$

答

１　（１） $${\bm{\dfrac{2}{3}}}$$　（２）Ｄ，Ｅ　　２　$${\bm{\dfrac{1}{3}}}$$