応用編〈５〉　並べ替える

　右のⅠ図のように，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇの文字が書かれた積み木が１個ずつあり，この順に下から積まれている。
　積まれた７個の積み木について，次の操作を行う。

〈操作〉
手順① １から６までの目があるさいころを１回投げる。
手順②
　手順①で１の目が出た場合，下から１番目にある積み木を抜き取る。
　手順①で２の目が出た場合，下から２番目にある積み木を抜き取る。
　手順①で３の目が出た場合，下から３番目にある積み木を抜き取る。
　手順①で４の目が出た場合，下から４番目にある積み木を抜き取る。
　手順①で５の目が出た場合，下から５番目にある積み木を抜き取る。
　手順①で６の目が出た場合，下から６番目にある積み木を抜き取る。
手順③ 手順②で抜き取った積み木を一番上に移動させる。

　たとえば，Ⅰ図の状態から〈操作〉を２回続けて行うとき，１回目の〈操作〉の手順①で２の目が出た場合，７個の積み木はⅠ図の状態から右のⅡ図の状態になり，２回目の〈操作〉の手順①でも２の目が出た場合，７個の積み木はⅡ図の状態から右のⅢ図の状態になる。
　このとき，次の問い（１）・（２）に答えよ。ただし，さいころの１から６までの目の出方は，同様に確からしいものとする。（京都府2020）

（１）　「図の状態から〈操作〉を２回続けて行うとき，〈操作〉を２回続けて行ったあとの一番上の積み木が，Ｇの文字が書かれた積み木となる確率を求めよ。
（２）　「図の状態から〈操作〉を２回続けて行うとき，〈操作〉を２回続けて行ったあとの下から４番目の積み木が，Ｅの文字が書かれた積み木となる確率を求めよ。

（京都府　2020年）

問題を解く前に

　とにかく問題文が長いので、めげそうですね。何を言いたいのか？　何が本質か？　どんな図表を書けばすべての場合がカウントできるのか？　読み込むのに、いろんな要素がまじってしまいます。

　何が偶然として起こるのか？　ということをしっかりまず把握しておきましょう。〈操作〉を２回続けて行う、ということは

　、。「１から６までの目があるさいころを１回投げる」（何か積木を動かす）「１から６までの目があるさいころを１回投げる」（またなんか積木を動かす）ということで、起こっている偶然としては「さいころを２回投げる」ということだ、ということをまずはおさえておきましょう。

分母

　というわけで、さいころ２回なので表。

分子・・・判定条件

　こういう問題は、とにかく手を動かし手いろいろ書きながら、それを目で見て考えながら進めた方が、方針を立てやすいです。めんどくさがらず、いろいろ試行錯誤してみた方が、結局早いのでは、と思います。（そして、この問題は、いい具合に試行錯誤して考える方がピタッと答えに近づく問題です）

（１）

　まずは、１回目それぞれの目によって〈操作〉が終わったとき、積木がどうなっているか見てみましょう。

　あら不思議。１回目に何の目が出ても、Gは下から６番目にあるじゃないですか。ということで、２回目が終わった時点でGがいちばん上にあるためには、（１回目に何が出ても）２回目に６を出しさえすればいい、ということがわかります。

　なので、その確率は$${\bm{\dfrac{1}{6}}}$$。

　ちょっと心配な人は、表を書いてみてもいいです。１回目のところに書いてあるのは下から１番目→下から７番目の順。表の中のアルファベットは、２回目が終わった時点のいちばん上の積み木。

（２）

　表を書いて、２回目が終わった時点の下から４番目が何になっているか、やってみましょうか。こんな感じになりますので、該当するのは色を塗った１２通り。

　答えは　$${\dfrac{12}{36}=\bm{\dfrac{1}{3}}}$$ということになります。

（１）　$${\bm{\dfrac{1}{6}}}$$　　　（２）　$${\bm{\dfrac{1}{3}}}$$　　

類題

神奈川県追試験2021、石川県2020、福井県2019、大阪府Ｂ2015、長崎県２０１４Ｂ、香川県2009、熊本県Ａ2009

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