岐阜県｜公立高校入試確率問題2024

　右の図のような正三角形ＡＢＣがあり，点Ｐは頂点Ａの位置にある。また，０から４までの数字が１つずつ書かれた５枚のカード[０] [１] [２] [３] [４]が，袋の中に入っている。
　次の操作を２回行う。
【操作】
　袋からカードを１枚取り出し，そのカードに書かれた数字の回数だけ，Ｐを正三角形の頂点から頂点へ左回りに移動させる。Ｐを移動させた後，取り出したカードを袋に戻す。

　例えば，１回目に[２]のカードを，２回目に[０]のカードを取り出したとき，１回目の操作後にPは頂点Ｃにあり，２回目の操作後もＰは頂点Ｃにある。
　次の（１）～（３）の問いに答えなさい。

（１）　１回目の操作後にＰが頂点Ａにある確率を求めなさい。

（２）　１回目の操作後にＰが頂点Ａにあり，２回目の操作後もＰが頂点Ａにある確率を求めなさい。

（３）　２回目の操作後にＰが点Ａにある確率を求めなさい。

分類：応用❷（他のものを動かす、循環型）

（１）は操作の確認

　まず確認ですが，「そのカードに書かれた数字の回数だけ，Ｐを正三角形の頂点から頂点へ左回りに移動させる」ということなので，［０］のカードを取り出したときは［０回左回りに移動」ということなので，結局そのまま，と考えてよさそうですが、はたして正しい考え方でしょうか？

　例えば，１回目に[２]のカードを，２回目に[０]のカードを取り出したとき，１回目の操作後にPは頂点Ｃにあり，２回目の操作後もＰは頂点Ｃにある。

とあり，あっていますね。ですから，それぞれのカードを出したとき，Ｐは
　　［０］→Ａ
　　［１］→Ｂ
　　［２］→Ｃ
　　［３］→Ａ
　　［４］→Ｂ
の位置にあります。問われている１回目の操作後にＰが頂点Ａにある場合は［０］と［３］をひいたときの２通り。確率は，$${\dfrac{2}{5}}$$となります。

（２）２回操作するので表で考えましょう

　２回操作をするので，表で考えるといいですね。

　操作が終わった後，取り出したカードは袋に戻しますので，［０］→［０］のような取り出し方も可能です。ですから，表はこのままになります。

　１回目終わったタイミングで，Ｐがどの位置にいるかをかいておいて，２回目の目でどこに移動するかを，各マスに書いておくことにします。。

（２）で考えるのは，１回目の操作後にＰが頂点Ａにあり，２回目の操作後もＰが頂点Ａにある場合についてですから，

この行のうちのＡの場所ですから，

当てはまるのはこの４通り。起こりうるすべての場合の数は２５通りですから，求める確率は$${\dfrac{4}{25}}$$。

（３）さっきの表で考えましょう

　すでに表はできていますから，２回目でPが頂点Aに移動している場合を数えると，

　８通りですね。求める確率は$${\dfrac{8}{25}}$$。

答

（１）$${\bm{\dfrac{2}{5}}}$$　　（２）$${\bm{\dfrac{4}{25}}}$$　　（３）$${\bm{\dfrac{8}{25}}}$$

問題を解いた後に

「何回移動したか」を頂点に対応させて考えると

　　０回　→　Ａ
　　１回　→　Ｂ
　　２回　→　Ｃ
　　３回　→　Ａ
　　４回　→　Ｂ
　　５回　→　Ｃ
　　６回　→　Ａ
　　７回　→　Ｂ
　　８回　→　Ｃ
なので，それぞれの数字の和を表のマス目に書き入れて，０，３，６になる場合を数える，という方針でもよいですね。