準直積（２）

今回は前回の「定理（Birkhoff）」から同型の場合を考えることで１つの系を導こう。また、準直積に関してアーベル群ℤを例に考えてみよう。

１．定理の系

準直積の定義の条件（１）より、
　ｉ：Ｂ→ΠＡ(γ)　
が単射準同型であるから
　Δ＝Ker(ｉ)
である。

また、定理でＡ＝Ｂの場合によって
　Ker(ｉ)＝⋂Ker(π[γ]◦ｉ)
となる。

よって
　⋂Ker(π[γ]◦ｉ)＝Δ
である。

一般には定理の条件（Ⅱ）で準同型
　φ：Ａ→Ｂ
が同型である場合、
　⋂Ker(ｆ[γ])＝Δ
である。

逆に
　⋂Ker(ｆ[γ])＝Δ
となるような全射準同型Ａ→Ａ(γ)の族
　{ｆ[γ]；γ∈Γ}
があるとき、Ａの{Ａ(γ)}による準直積Ｂへの全射準同型φは
　Ker(φ)＝⋂Ker(ｆ[γ])＝Δ
となってφは同型：
　Ａ≅Ｂ
となる。

以上をまとめると次の系を得る：

【系】
代数系Ａと同じ代数系の族{Ａ(γ)}による準直積Ｂについて、次の２つの条件は互いに同値である：
（Ⅰ）Ａが準直積Ｂと同型である。
（Ⅱ）⋂Ker(ｆ[γ])＝Δ
　　　となる全射準同型
　　　　ｆ[γ]：Ａ→Ａ(γ)　（γ∈Γ）
　　　が存在する。

２．例１

例としてアーベル群（ℤ，＋）をみてみよう。

ｎを任意の整数として、ℤ上の合同関係(modｎ)を
　　　(ｘ，ｙ)∈(modｎ)
　⇔　ｘ≡ｙ　(modｎ)
　⇔　ｘ－ｙ∈ｎℤ＝{ｎａ｜ａ∈ℤ}
とおく。（この関係が合同関係であることは既知とした。）

　ｆ[ｎ]：ℤ→ℤ／(modｎ)
とし、すべて整数ｎ≧１に対する全射準同型の族{ｆ[ｎ]}について定理の（Ⅰ）⇒（Ⅱ）を適用する。

すると、族{ℤ／(modｎ)}の準直積Ｂで、
　φ：ℤ→Ｂ　（全射準同型）
となるものがある。そして
　　Ker(φ)＝⋂Ker(ｆ[ｎ])
　　　　　＝⋂(modｎ)
　　　　　＝Δ　　　　　･･･（★１）
だから、φ：ℤ→Ｂは同型となる。

ゆえに、ℤは族{ℤ／(modｎ)｜ｎ≧１}の準直積である。

【（★１）の証明】
　　　(ｘ，ｙ)∈⋂(modｎ)
　⇔　任意のｎ≧１で、ｘ≡ｙ (modｎ)
　⇔　任意のｎ≧１で、ｘ－ｙ∈ｎℤ
　⇔　ｘ＝ｙ
最後の特に（⇒）は、ａ＝ｘ－ｙ≠０ならば、ｎの任意性から特に
　ａ∈(｜ａ｜＋１)ℤ
であるが、これはａ＝０でなければならなく矛盾する。■

３．例２

では上の例で、ｎ＝ｐ（素数）に限るとどうなるか。

やはり定理の（Ⅰ）⇒（Ⅱ）より族{ℤ／(modｐ)}の準直積Ｂで、
　φ：ℤ→Ｂ　（全射準同型）
となるものがある。そして
　　Ker(φ)＝⋂Ker(ｆ[ｐ])
　　　　　＝⋂(modｐ)
　　　　　＝Δ　　　　　･･･（★２）
だから、φ：ℤ→Ｂは同型となる。

ゆえに、ℤは族{ℤ／(modｐ)｜ｐは素数}の準直積である。

【（★２）の証明】
　　　(ｘ，ｙ)∈⋂(modｐ)
　⇔　任意の素数ｐで、ｘ≡ｙ (modｐ)
　⇔　任意の素数ｐで、ｘ－ｙ∈ｐℤ
　⇔　ｘ＝ｙ
最後の特に（⇒）は、ａ＝ｘ－ｙ≠０ならば、素数ｐが無限にあるからｐ＞ａとなる素数ｐを取ってきても
　ａ∈ｐℤ
であるが、これはａ＝０でなければならなく矛盾する。■

この２つの例から、特に準直積はそれを表す代数系の族がいつも１通りであるとは限らないことになる。