同値（合同）関係の直積（３）

前回と前前回では２つ代数系の直積についての話であった。

今回は任意個（有限でも無限でも）の代数系の直積に拡張しよう。

任意個になっても形式的には前回と同じ道をたどればよい。

１．直積上の合同関係の定義

集合Γを添え字集合とし、Γの元γに応じて代数系Ａ(γ)が対応しているとする。

そして{Ａ(γ)；γ∈Γ}は互いに同様な代数系の族で、Ａ(γ)上の合同関係θ(γ)がそれぞれに与えられているとしよう。

このとき、直積ΠＡ(γ)上に
　ｘΠθ(γ)ｙ　⇔　各γ∈Γについて、ｘ(γ) θ(γ) ｙ(γ)
で定義する。

これはΠＡ(γ)上の合同関係で、
　(ΠＡ(γ))／(Πθ(γ))　≅　Π(Ａ(γ)／θ(γ))　（≅は代数系として同型）
である。　

２．合同関係であること

まずΠθ(γ)がΠＡ(γ)上の同値関係であることは、各γでθ(γ)がＡ(γ)上で反射律、対称律、推移律を満たすことからいえる：

反射律：
　　　ａ(γ)θ(γ)ａ(γ)，（γ∈Γ）
　⇒　(ａ(γ)；γ∈Γ) Πθ(γ)(ａ(γ)；γ∈Γ)　
対称律：
　　　(ａ(γ)；γ∈Γ) Πθ(γ)(ｂ(γ)；γ∈Γ)　
　⇒　ａ(γ)θ(γ)ｂ(γ)，（γ∈Γ）
　⇒　ｂ(γ)θ(γ)ａ(γ)，（γ∈Γ）
　⇒　(ｂ(γ)；γ∈Γ) Πθ(γ)(ａ(γ)；γ∈Γ)　
推移律：
　　　(ａ(γ)；γ∈Γ) Πθ(γ)(ｂ(γ)；γ∈Γ)　，(ｂ(γ)；γ∈Γ) Πθ(γ)(ｃ(γ)；γ∈Γ)　
　⇒　ａ(γ)θ(γ)ｂ(γ)，（γ∈Γ）かつ　ｂ(γ)θ(γ)ｃ(γ)，（γ∈Γ）
　⇒　ａ(γ)θ(γ)ｂ(γ)，　ｂ(γ)θ(γ)ｃ(γ)，（γ∈Γ）
　⇒　ａ(γ)θ(γ)ｃ(γ)（γ∈Γ）
　⇒　(ａ(γ)；γ∈Γ) Πθ(γ)(ｃ(γ)；γ∈Γ)　

次に任意の演算と両立することをみよう。

ΠＡ(γ)上の任意の演算μを固定する。μをｎ(≧１)項演算とし、μに対応する各Ａ(γ)の演算も同じμという記号で書くとする。
　　　(ａ[i](γ)；γ∈Γ) Πθ(γ) (ｂ[i](γ)；γ∈Γ)，（１≦ｉ≦ｎ）
　⇒　ａ[i](γ) θ(γ) ｂ[i](γ)，（１≦ｉ≦ｎ，γ∈Γ）
　⇒　μ(ａ(γ)) θ(γ) μ(ｂ(γ))，（γ∈Γ）
　（ただし、ａ(γ)，ｂ(γ)は長さｎのベクトル：
　　　ａ(γ)＝(ａ[1](γ)，･･･，ａ[n](γ))　，･･･
　　を表す。次式も同様。）
　⇒　(μ(ａ(γ))；γ∈Γ) Πθ(γ) (μ(ｂ(γ))；γ∈Γ)

ゆえに、ΠＡ(γ)上の任意の演算と両立することがわかった。

以上より 、Πθ(γ)はΠＡ(γ)上の合同関係である。

３．同型であること

同型の証明も前回にみたように準同型定理からすぐにわかる。

まず、
　ｆ：ΠＡ(γ)→Π(Ａ(γ)／θ(γ))
　　　ａ↦(ａ(γ)／θ(γ)；γ∈Γ)
が全射準同型である。

そしてｆの引き起こすΠＡ(γ)上の合同関係～は
　ａ～ｂ　⇔　ｆ(ａ)＝ｆ(ｂ)
　　　　　⇔　(ａ(γ)／θ(γ)；γ∈Γ)＝(ｂ(γ)／θ(γ)；γ∈Γ)　
　　　　　⇔　ａ(γ)／θ(γ)＝ｂ(γ)／θ(γ)，（γ∈Γ）
　　　　　⇔　ａ(γ)θ(γ)ｂ(γ)，（γ∈Γ）
　　　　　⇔　ａΠθ(γ)ｂ
となる。

よって準同型定理によって
　(ΠＡ(γ))／(Πθ(γ))　≅　Π(Ａ(γ)／θ(γ))
を得る。なお元の対応は、
　(ａ(γ)；γ∈Γ)／(Πθ(γ))　↦　(ａ(γ)／θ(γ)；γ∈Γ)
である。