整数を作る物語

自然数の集合Ｎ＝｛１，２，３，･･･｝には加法が定義されているが、減法はいつもできるとは限らない。例えば３－１＝２だが、１－３はできない。しかし１万円の収入があったが、３万円の支出があって、結果的に２万円の赤字であるというのを考えるときに、２万円の赤字をー２と書けば、１－３＝－２としたい。

自然数の世界だけでは引き算が制限されるのは日常的にも窮屈な事であるという訳ですね。

そこで引き算がいつでもできるように、自然数の世界から整数の世界へ広げることになる。これは中学生の時から習ってきた話でした。今、この状況を見直してみよう。（今回は少し長くなっているので、目次を付けています。）

１．減法の定義を思い出す

ａ＞ｂのとき、＞の定義によって、
　ａ＝ｂ＋ｃ
を満たすただ一つの自然数ｃが存在する。（注意１）

（注意１：ただ一つであることの証明は、自然数が有限集合の間の１対１対応から来ていることを根拠にできる。
ａ＝ｂ＋ｃ＝ｂ＋ｄと２通りの自然数ｃ，ｄで実現したとすると、元の個数がｂ＋ｃ個の集合Ｃと、ｂ＋ｄ個の集合Ｄの間に全単射ｆがある。集合Ｃのｂ個の元を一つ決めてその集合をＢとおく。Ｂの元をｆによって１対１に対応付いている集合Ｄのｂ個の元の集合をＢ’とおく。このとき、ＣからＢを除いた集合Ｃ－Ｂの上で全単射ｆを制限すれば、その制限されたｆはＤからＢ’を除いた集合Ｄ－Ｂ’に１対１対応する。従って、
　ｃ＝（Ｃ－Ｂの元の個数）＝（Ｄ－Ｂ’の元の個数）＝ｄ
を得る。）

そこで、このただ一つの自然数ｃをａ－ｂと定義する。

この２項演算を減法と呼ぶ。この減法はｂ＞ａの場合には
　ａ＝ｂ＋ｃ
となる自然数ｃは存在しない。よって、ａーｂが定義されない。

２．０を付け加えて単位的半群として考える

今、Ｎには加法だけある状況で、（Ｎ，＋）は可換な半群と考えられる。そこに０という特別な元で、任意の自然数ａについて、
　ａ＋０＝０＋ａ＝ａ
という性質が成り立つような元０を付け加えれば、Ｎ∪｛０｝は元０を単位元とする可換な単位的半群となる。なお、Ｎ∪｛０｝には加法に関しての零元は存在しない。

この集合の上で考えれば、ａーｂの定義のための条件ａ＞ｂはａ≧ｂで置き換えられ、ａ＝ｂのときは
　ａーｂ＝０
である。

しかし相変わらずｂ＞ａの場合には、ａーｂが定義されない。

特にａ＝０として任意のｂ＞０について、０－ｂが定義されない。

これは減法の定義で言い換えれば、
　０＝ｂ＋ｃ
となる０または自然数ｃは存在しないということである。

つまり、「任意の自然数ｂ＞０は、Ｎ∪｛０｝における加法に関する逆元が存在しない」ということを言っている。

３．減法の特徴づけを探す

我々はこの逆元の不在を補うために”仮想的に逆元を付け加える”という方法で整数の世界を定義しないで、できるだけ自然な方法で構成できないかを考えてみよう。

例えば自然数の減法では５－２＝３，６－３＝３でともに一致する。したがって
　５－２＝６－３　　　　･･･（★）
これは加法で書けば
　５＋３＝６＋２
を満たす。実際、（★）の式に両辺（３＋２）を加えても等式は保たれ、左辺と右辺をそれぞれ計算すると、
　（５－２）＋（２＋３）＝（（５－２）＋２）＋３
　　　　　　　　　　　　＝５＋３
　（６－３）＋（２＋３）＝（（６－３）＋３）＋２
　　　　　　　　　　　　＝６＋２
となることから、５＋３＝６＋２が導かれる。

これは減法の定義された範囲であれば、一般化できる：
　ａ≧ｂかつａ’≧ｂ’のとき、
　ａーｂ＝ａ’－ｂ’　⇒　ａ＋ｂ’＝ａ’＋ｂ

証明は先ほどの例と同様にして示される。実際に確認してみよう。
　（ａーｂ）＋（ｂ＋ｂ’）＝（（ａーｂ）＋ｂ）＋ｂ’
　　　　　　　　　　　　＝ａ＋ｂ’
　（ａ’－ｂ’）＋（ｂ＋ｂ’）＝（（ａ’ーｂ’）＋ｂ’）＋ｂ
　　　　　　　　　　　　＝ａ’＋ｂ
よって、ａーｂ＝ａ’－ｂ’が成り立てば、上の２式は一致するから、
　ａ＋ｂ’＝ａ’＋ｂ
が導かれる。

これの逆もいえる。

ａ≧ｂかつａ’≧ｂ’のとき
　ａ＋ｂ’＝ａ’＋ｂ　⇒　ａーｂ＝ａ’－ｂ’
が成り立つ。

実際、さきほどの証明に出て来た２つの等式を眺めると
　（ａーｂ）＋（ｂ＋ｂ’）＝（（ａーｂ）＋ｂ）＋ｂ’
　　　　　　　　　　　　＝ａ＋ｂ’
　（ａ’－ｂ’）＋（ｂ＋ｂ’）＝（（ａ’ーｂ’）＋ｂ’）＋ｂ
　　　　　　　　　　　　＝ａ’＋ｂ
で、今度は仮定がａ＋ｂ’＝ａ’＋ｂだから、やはり２つ式は一致する：
　（ａーｂ）＋（ｂ＋ｂ’）＝（ａ’－ｂ’）＋（ｂ＋ｂ’）
ところで、一般に０または自然数ｚを固定したときのｚだけ加えるという写像：
　Ｎ∪｛０｝→Ｎ∪｛０｝
　元ｘを、元ｘ＋ｚへ対応させる
は単射（１対１対応）であるから（注意２）、この等式より
　ａーｂ＝ａ’ーｂ’
が分かる。

（注意２：単射であるとは、すなわち、
　　　　　　ｘ＋ｚ＝ｙ＋ｚ　⇒　ｘ＝ｙ
　　　　　であることを言っている。これを簡約条件ともいわれる。その証明は注意１の結果を認めれば、ｘ＋ｚ＝ｙ＋ｚの両辺からｚを減じれば結果が従う。）

これらの結果を次の定理の形でまとめよう。

【定理】
　ａ≧ｂかつａ’≧ｂ’のとき，次の（１）と（２）は互いに同値である：
（１）ａーｂ＝ａ’－ｂ’
（２）ａ＋ｂ’＝ａ’＋ｂ

４．同値関係を導入する

そこで我々はこの減法の特徴づけを手掛かりに、「ａ≧ｂかつａ’≧ｂ’」という条件を外して全体に拡張しよう。

上の条件（２）を満たすとき
（ａ，ｂ）～（ａ’，ｂ’）　⇔　ａ＋ｂ’＝ａ’＋ｂ
として直積集合（Ｎ∪｛０｝）×（Ｎ∪｛０｝）の上に２項関係を定める。

この２項関係は同値関係となる：
・反射律：（ａ，ｂ）～（ａ，ｂ）
　（理由：ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ）
・対称律：（ａ，ｂ）～（ａ’，ｂ’）⇒（ａ’，ｂ’）～（ａ，ｂ）
　（理由：ａ＋ｂ’＝ｂ＋ａ’なら、当然ａ’＋ｂ＝ｂ’＋ａ）
・推移律：（ａ，ｂ）～（ａ’，ｂ’）かつ（ａ’，ｂ’）～（ａ’’，ｂ’’）　⇒（ａ，ｂ）～（ａ’’，ｂ’’）
　（理由：（ａ＋ｂ’’）＋ｂ’＝ａ＋（ｂ’’＋ｂ’）
　　　　　　　　　　　　＝ａ＋（ｂ’＋ｂ’’）
　　　　　　　　　　　　＝（ａ＋ｂ’）＋ｂ’’
　　　　　　　　　　　　＝（ａ’＋ｂ）＋ｂ’’
　　　　　　　　　　　　＝（ｂ＋ａ’）＋ｂ’’
　　　　　　　　　　　　＝ｂ＋（ａ’＋ｂ’’）
　　　　　　　　　　　　＝ｂ＋（ａ’’＋ｂ’）
　　　　　　　　　　　　＝（ｂ＋ａ’’）＋ｂ’
　　　　　　　　　　　　＝（ａ’’＋ｂ）＋ｂ’
　　　　　よって上記「注意２」のことからａ＋ｂ’’＝ａ’’＋ｂ）

５．商集合をとる

従って（Ｎ∪｛０｝）×（Ｎ∪｛０｝）上の同値関係～による同値類の集合は、次の完全代表系で記述される：

「（０，０），
　（１，０），（２，０），（３，０），･･･，
　（０，１），（０，２），（０，３），･･･　」　　　　　･･･（♠）

これら同値類のすべての集合（つまり（Ｎ∪｛０｝）×（Ｎ∪｛０｝）上の同値関係～による商集合）をＺとおこう。

Ｎ∪｛０｝からＺへの自然な対応：ａ→（ａ，０）により、（ａ，０）の同値類をａと書けば、ＺはあたかもＮ∪｛０｝を含む。というのは、Ｎ∪｛０｝の相異なる２元ａ，ｂに対して（ａ，０），（ｂ，０）の同値類も相異なるからだ。

６．Ｚに加法を定義する

Ｚにも加法（演算記号で＋）が同値関係～と両立するように自然に定義される。一般に（ａ，ｂ）の同値類を［ａ，ｂ］と書くことにすると、具体的には、
　［ａ，ｂ］＋［ａ’，ｂ’］＝［ａ＋ａ’，ｂ＋ｂ’］
と加法を定義することで、これが代表元の取り方によらずに決まる。

実際、［ａ，ｂ］＝［ｃ，ｄ］，［ａ’，ｂ’］＝［ｃ’，ｄ’］のとき、
　ａ＋ｄ＝ｂ＋ｃ，ａ’＋ｄ’＝ｂ’＋ｃ’
よって、辺々を足して
　（ａ＋ｂ）＋（ａ’＋ｄ’）＝（ｂ＋ｃ）＋（ｂ’＋ｃ’）
即ち、
　（ａ＋ａ’）＋（ｄ＋ｄ’）＝（ｂ＋ｂ’）＋（ｃ＋ｃ’）
これは、
　［ａ＋ａ’，ｂ＋ｂ’］＝［ｃ＋ｃ’，ｄ＋ｄ’］
を意味する。

このＺの加法は可換で、単位元は［０，０］、［ａ，ｂ］の逆元は［ｂ，ａ］となる：
・可換性：
　［ａ，ｂ］＋［ａ’，ｂ’］＝［ａ＋ａ’，ｂ＋ｂ’］
　　　　　　　　　　　　＝［ａ’＋ａ，ｂ’＋ｂ］
　　　　　　　　　　　　＝［ａ’，ｂ’］＋［ａ，ｂ］
・単位元：
　［ａ，ｂ］＋［０，０］＝［ａ，ｂ］，
　［０，０］＋［ａ，ｂ］＝［ａ，ｂ］
・逆元：
　［ａ，ｂ］＋［ｂ，ａ］＝［ａ＋ｂ，ｂ＋ａ］
　　　　　　　　　　　　＝［０，０］

従って（Ｚ，＋）は可換群となる。

７．Ｚに減法を定義する

さきほど「ＺはあたかもＮ∪｛０｝を含む」と表現したが、この意味でいうと、０または自然数ａをＺの中で見ると、ａの逆元が存在し、その元は［０，ａ］となる。

Ｎ∪｛０｝の中でａ≧ｂのときの減法をａーｂと書いたことを思い出そう。これはＺの中で見ると
　ａーｂ＝［ａーｂ，０］
　　　　＝［（ａーｂ）＋ｂ，０＋ｂ］
　　　　＝［ａ，ｂ］

従って、ａ≧ｂという条件がなくても、改めて０または自然数ａとｂのＺにおける減法を
　ａーｂ＝［ａ，ｂ］
で定義すれば、Ｎ∪｛０｝の上での減法の定義と一致するから、Ｚへ拡張できたということになる。

８．Ｚにおける減法の意味を考える

特に、この式でａ＝０とすると
　０－ｂ＝［０，ｂ］
となる。そこで、［０，ｂ］をーｂと定義し、これをｂに対する負の数ということにすれば、
　ｂ＋（－ｂ）＝［ｂ，０］＋［０，ｂ］
　　　　　　　＝［０，０］
　　　　　　　＝０
となり、ーｂはｂの逆元ということがわかる。

よって、ａーｂとは
　ａーｂ＝［ａ，ｂ］
　　　　＝［ａ，０］＋［０，ｂ］
　　　　＝ａ＋（－ｂ）
であることがわかった。

従って特に減法を定義せずとも、負の数と加法の言葉で記述できるということがわかる。

９．整数Ｚの登場

こうしてＺは完全代表系（♠）を集合に見立て、さらにそれらは

「０，
　１，２，３，･･･，
　ー１，ー２，ー３，･･･　」　　　　　　　･･･（♥）　

という名前に付け替えた集合であると見立てれば、それがまさに整数の集合ということである。そして整数の加法・減法は自然数の世界を拡張したものになっていることもわかった。

１０．参考文献

このような整数の構成の仕方の一般化については、可換な単位的半群や可換環論の中でも展開することができます。以下はその参考文献です。本記事では具体的に「自然数から整数へ」の構成に限っているので、一般論から翻訳したことと、私なりの数学的ストーリー性も兼ね備えた形になっています。

参考文献：『環と加群』山崎圭次郎，岩波基礎数学選書