同値（合同）関係の直積

２つの集合があって、それぞれ同値関係があるとしよう。集合の上の同値関係とは、その集合のいくつかの要素の間で同じとみなしたい関係のもつもの同士が集まり、このことによってもとの集合に分割を引き起こすものである。

２つの集合を１セットで考えたいときは、集合の直積（ペアの全体）を取ることになる。

今その作った直積にも、もとの２つの同値関係をそのまま同時に引き継がせたいとする。

そのためには、直積の元と元との間には、それぞれの成分についてもとの同値関係を同時に満足することを要請する。従ってこのような場合に直積の元と元の間に「関係がある」と定めることで、この関係が前の同値関係を引き継ぐ。

今回はこれが再び同値関係となることを直接確認してみよう。そしてこれは代数系上の合同関係にも拡張され、直積が再び合同関係となることを確認しよう。

１．直積上の同値関係

ＡとＢを集合、θ，ψをＡ，Ｂの上の同値関係とする。このとき、直積Ａ×Ｂの上に関係θ×ψを次のように定めると同値関係となる：
　(ａ，ｂ)θ×ψ(ａ’，ｂ’)　⇔　ａθａ’　かつ　ｂψｂ’
　（ａ，ａ’∈Ａ，ｂ，ｂ’∈Ｂ）

このことを証明するには純粋に同値関係の公理であった反射律、対称律、推移律を確認すればよい。

反射律：
　ａ∈Ａ，ｂ∈Ｂとする。θ，ψが反射律を満たすから、
　　ａθａ　かつ　ｂψｂ
　である。よって、
　　(ａ，ｂ)θ×ψ(ａ，ｂ)
対称律：
　ａ，ａ’∈Ａ，ｂ，ｂ’∈Ｂとする。θ，ψが対称律を満たすから、
　　ａθａ’　⇒　ａ’θａ　
　　ｂψｂ’　⇒　ｂ’ψｂ
　である。よって、
　　ａθａ’　かつ　ｂψｂ’　⇒　ａ’θａ　かつ　ｂ’ψｂ
　ゆえ、
　　(ａ，ｂ)θ×ψ(ａ’，ｂ’)　⇒　(ａ’，ｂ’)θ×ψ(ａ，ｂ)
推移律：
　ａ，ａ’，ａ’’∈Ａ，ｂ，ｂ’，ｂ’’∈Ｂとする。θ，ψが推移律を満たすから、
　　ａθａ’　かつ　ａ’θａ’’　⇒　ａ’θａ’’
　　ｂψｂ’　かつ　ｂ’ψｂ’’　⇒　ｂψｂ’’
　である。よって、
　　　(ａ，ｂ)θ×ψ(ａ’，ｂ’)　かつ　(ａ’，ｂ’)θ×ψ(ａ’’，ｂ’’)
　⇒　(ａ，ｂ)θ×ψ(ａ’’，ｂ’’)　

よって、θ×ψはＡ×Ｂ上の同値関係となる。

２．直積の合同関係

さらに集合を代数系に拡張するときも、同値関係を合同関係とすれば事情は同じである。

同じような代数系が複数あるとき、それらの直積の上にも自然に演算が定まるのは『直積』の記事で述べた。

ＡとＢを同じ代数系、θ，ψをＡ，Ｂの上の合同関係とする。このとき、直積Ａ×Ｂの上に関係θ×ψを次のように定めると合同関係となる：
　(ａ，ｂ)θ×ψ(ａ’，ｂ’)　⇔　ａθａ’　かつ　ｂψｂ’
　（ａ，ａ’∈Ａ，ｂ，ｂ’∈Ｂ）

同値関係であることは上でみた。あとはＡ×Ｂの任意の演算μと両立することを見ればよい。

μをＡ×Ｂ上のｎ項演算とし、μに対応するＡおよびＢの演算もμという同じ記号で書くとする。

　　(ａ(i)，ｂ(i))θ×ψ(ａ’(i)，ｂ’(i))　（i＝１，･･･，ｎ）
⇒　ａ(i)θａ’(i)　かつ　ｂ(i)ψｂ’(i)　（i＝１，･･･，ｎ）
⇒　μ(ａ)θμ(ａ’)　かつ　μ(ｂ)ψμ(ｂ’)
　　ただし、ａ＝(ａ(1)，･･･，ａ(n))，他も同様
⇒　(μ(ａ)，μ(ｂ))θ×ψ(μ(ａ’)，μ(ｂ’))
⇒　μ(ａ，ｂ)θ×ψμ(ａ’，ｂ’)　

よって、θ×ψはＡ×Ｂ上の合同関係となる。