合同関係：全射準同型

２つの同じ代数系の間の準同型写像というのは、その代数系に付随するすべての演算構造を保つような写像であった。演算構造を保ちながら、どれくらい写像の精度が良いのかという指標として、「核」を見ればよいというのが前回の『核』で述べた。

ところで準同型の核は、全ての演算と両立するような同値関係（つまり合同関係）であるが、逆にどんな合同関係も「ある準同型の核」とみなせる。従って両者を考えることは本質的に等価である。

今回はこのことを確認しよう。

１．合同関係と全射準同型の対応

まずＡ上の準同型があれば、その核はＡ上の合同関係であるのは核の定義により従う。

逆に、Ａ上の任意の合同関係は、Ａ上のある準同型の核に等しくできる。実際、合同関係θによる商代数Ａ／θを考えること、つまり自然な全射準同型：
　π：Ａ→Ａ／θ，ｘ↦ｘ／θ　（ｘのθによる同値類）
を考えれば、πの核がθである：
　Ker(π)＝θ　　　･･･（１）

このことから特に「全射」準同型に限って対応
　　Surj(Ａ)　→　Con(Ａ)
　　　ｆ　 　↦　Ker(ｆ)
は全射である。

ここで、Ａ上の全射準同型（surjective homomorphism）全体を
　Surj(Ａ)
Ａ上の合同関係（congruence）全体を
　Con(Ａ)
とおいた。

ところで、２つのＡ上の全射準同型
　ｆ：Ａ→Ｂ，ｇ：Ａ→Ｃ
があって、ＢとＣが同型：
　Ｂ≅Ｃ
であれば今の議論の上では実質的にｆとｇは「同じ」である。そこで、これらを同一視しておく。

また、ker(ｆ)＝ker(ｇ)となる２つのＡ上の全射準同型
　ｆ：Ａ→Ｂ，ｇ：Ａ→Ｃ
があれば、準同型定理から
　Ｂ≅Ａ／ker(ｆ)≅Ａ／ker(ｇ)≅Ｃ
であるから、（上の同一視の意味で）
　ｆ＝ｇ
である。よって、上の対応は単射でもある。

従って、以下の対応は全単射である：
　Surj(Ａ)　→　Con(Ａ)
　　ｆ 　　↦　Ker(ｆ)

逆写像は上記（１）の記号でいえば
　Con(Ａ)　→　Surj(Ａ)
　　θ　　↦　　π
である。

２．ちょっと注意

ここで若干注意したいことがあって、同一視を入れる前の
　「Ａ上の全射準同型全体」
が集合になるのかという問題がある。あまりに大きすぎると少し危険な臭いがする。

それは、集合すべてから成る集合は実は集合にならないことを、ラッセルのパラドックスが教えてくれているからで、我々もそのパラドックスに陥ってはならない。そこで「集合」とは言わず、「クラス」という言葉を使って回避しておこう。従って上記は
　「Ａ上の全射準同型全体というクラス」
で考えることになる。これが集合の場合とどう違うのかは、ここでは厳密にしない。もしこれでうまくいかないのであれば、それ以降の論理的帰結は全て無意味となる。

しかしながら概念的にはこのまま考察を続けることは価値がある。「クラス」という回避手段がうまくいかないのであれば、あとで適当な範囲に縮めて確認すればよいからである。あまりに大きすぎない範囲に限定すれば、その範囲での議論は有効になるはずであろうから、このまま進めよう。