引き起こす

「あの人の笑顔が周りの人の笑顔を引き起こす」

「このお守りを持っていると、合格を引き起こす」

という風に、日常的な会話の中で、原因となるＸが結果となるＹを生み出すときに、「ＸがＹを引き起こす」という表現がある。

そして数学の書籍でも「引き起こす」が議論している文脈の中で積極的に使われることがある。

また、ＸからＹが引き起こされるときに、その引き起こし方が人工的なものではなく、とても単純な手続きであると思えるときは、「自然に引き起こす」という表現も使う。

「自然に」という副詞は、Ｙの生まれる様子が自然発生的なものに感じる、というセンスの問題なので、特にそれ自体に厳密な定義がある訳ではない。

しかし「自然に引き起こす」と強調して書かれているときは、読み手としてはピュアな心で読んでストレスなく解釈できるくらいの引き起こし方なのだと思える。

今回は数学での「引き起こす」ものの例として集合と写像の話の中で見てみよう。そのあと、それをさらに日常的な場面でなぞらえてみよう。

なお、「引き起こす」は英語では「induce」に当たり、これを「誘導する」という訳語もしばしば見かける。

１．例：写像ｆから引き起こされるもの

集合Ｘ，Ｙと、写像ｆ：Ｘ→Ｙが与えられているとする。

写像ｆによって写る先が一致するようなＸの２元ａ，ｂのことを
　ａ～ｂ
と書くことにする：
　　　ａ～ｂ
　⇔　ｆ(ａ)＝ｆ(ｂ)

この～はＸの上の２項関係であるが、反射律、反対称律、推移律を満足する：
・反射律：
　任意のａ∈Ｘについて
　　ａ～ａ
・反対称律：
　任意のａ，ｂ∈Ｘについて
　　ａ～ｂ　⇒　ｂ～ａ
・推移律：
　任意のａ，ｂ，ｃ∈Ｘについて
　　ａ～ｂ，ｂ～ｃ　⇒　ａ～ｃ

そこで、～はＸの上の同値関係である。 

この同値関係～をｆの引き起こす同値関係と呼ぶ。

ここで「引き起こす」と名付けるのは、ｆがあるとき、あたかもそこにもとからあったかのように自然と同値関係～が定まるからである。

この同値関係～は次のように定めても同じである。

つまり、ｆの像ｆ(Ｘ)の各元ｙでのｆによる逆像：
　ｆ’(ｙ)＝｛ｘ∈Ｘ｜ｆ(ｘ)＝ｙ｝
（※注意１）がＸの分割を成す。この分割に対応するＸの上の同値関係が～に他ならない（※注意２）。

※注意１：
　ｆの逆像はｆ’より
　　ｆ^(-1)
　という記号を使うのが一般的だが今はｆ’と簡単にしている。

※注意２：
　分割から同値関係、同値関係から分割と１：１に対応することは以下の記事『同一視』より。

さて、Ｘの同値関係～による商集合Ｘ／～はＹへの写像
　ｇ：Ｘ／～　→　Ｙ
　ｇ([ｘ])＝ｆ(ｘ)
を定める。ただし、ｘ∈Ｘに対して[ｘ]を元ｘの～による同値類を表す。

このｇをｆが引き起こす自然な写像と呼ばれる。

このｇはその作り方から単射（１：１対応の写像）である。

特に、写像ｆ：Ｘ→Ｙが全射なら、このｇは全単射である：
　Ｘ／～　≅　Ｙ

２．写像ｇの日常的な例

上の写像ｇを日常的な例でみてみよう。

あるクラスの生徒全員が小テストを行い、結果がＡ，Ｂ，Ｃの３段階で評価されたとする。各生徒ｘからテストの結果ｙへの対応ｘ↦ｙを写像ｆで表す。

このクラスの生徒全員から成る集合をＸ、評価の集合を
　Ｙ＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝
とおく。

例えば写像ｆ：Ｘ→ＹによるＡ∈Ｙの逆像は、評価がＡだった生徒の集合：
　ｆ’(Ａ)＝｛Ａ評価の生徒｝
を表す。Ｂ，Ｃ評価についても同様である。

このとき、生徒全員から成る集合Ｘは
　Ｘ＝｛Ａ評価の生徒｝∪｛Ｂ評価の生徒｝∪｛Ｃ評価の生徒｝
と分割される。

このときｆが引き起こすＸの商集合とは、この３つを要素にする集合
　｛｛Ａ評価の生徒｝，｛Ｂ評価の生徒｝，｛Ｃ評価の生徒｝｝
である。

ただし、この３つ要素のうち、空集合であればそれを商集合の要素として含めない。つまり、ｆによる像ｆ(Ｘ)の各元での逆像のみを要素とする集合が商集合である。以下もその意味で、上の商集合の具体的な要素の表示は適宜読み替えるとしよう。

さてこの分割に対応するＸの上の同値関係を～とする：
　ａ～ｂ　⇔　ａとｂは共にある分割の要素に属する
　　　　　⇔　ａ君とｂ君は同じ評価

なお、この同値関係はｆが引き起こす同値関係でもある：
　ｆ(ａ)＝ｆ(ｂ)　⇔　ａ君とｂ君は同じ評価
　　　　　　　　⇔　ａ～ｂ

そして、上記の商集合Ｘ／～からＹへの写像
　ｇ：Ｘ／～→Ｙ
は、
　｛Ａ評価の生徒｝↦Ａ
　｛Ｂ評価の生徒｝↦Ｂ
　｛Ｃ評価の生徒｝↦Ｃ
を定義する写像である。

このｇがｆが引き起こす自然な写像である。そしてｇはその定義から明らかに単射である。

３．まとめ

このようにｆで引き起こされた同値関係～や単射ｇというのは、写像ｆによる値で一致するものの関係によって集合Ｘを分割するということと、さらに分割された上で見ればｆは１：１対応とみなせる、という内容を表している。

これはｆ：Ｘ→Ｙさえあればとても自然発生的に～やｇの概念が生まれるという文脈を、「引き起こす」という言葉で簡単に表現している。