同値関係と両立する写像（２）

前回の『同値関係と両立する写像（１）』

に引き続き、前回の命題１を適用して以下で説明する命題２が導かれる。

この命題２ではある集合Ｘから２つの写像ｆ，ｐがあるとき、１つの写像ｐともう片方の写像ｆの間に、ｐの値で一致する２元はｆの値でも一致する、という条件があるときに、ｐで写した像ｐ(Ｘ)の上から直接ｆの値に対応させる一つの写像ｋが構成される。その写像ｋをｆが引き起こす写像ともいわれる。そこで簡単のためｐは全射と仮定しよう。

今回はその内容について、その命題２を述べた後、その証明と例を考えてみよう。最後に解釈を付けたが、もともと数学的事実のイメージはそれぞれあるべきで、これは一つの見方に過ぎないと捉えて頂きたい。

１．命題２

集合Ｘ，Ｙ，Ｘ’と写像ｆ：Ｘ→Ｙおよび全射ｐ：Ｘ→Ｘ’があるとする。

ｐの値で一致するようなＸの２元はｆの値でも一致する：
　ｐ(ｘ）＝ｐ(ｙ)　⇒　ｆ(ｘ）＝ｆ(ｙ)
　（ｘ，ｙ∈Ｘ）
ための必要条件は、写像ｋ：Ｘ’→Ｙで
　ｋ◦ｐ＝ｆ
となるものが存在することである。

また、この同値な条件を満たすとき、写像ｋは一意的である。

２．命題２の証明

まずこのようなｋが存在すれば一意的であることをみよう。

別の写像ｋ’：Ｘ’→Ｙが
　ｋ’◦ｐ＝ｆ
を満たすとすると、
　ｋ◦ｐ＝ｋ’◦ｐ
で、ｐが全射であるから（※注意１）
　ｋ＝ｋ’
である。ゆえに、このような写像ｋ：Ｘ’→Ｙは一意的である。

【必要性の証明】
全射ｐが引き起こすＸ上の同値関係を～とする：
　ｘ～ｙ　⇔　ｐ(ｘ)＝ｐ(ｙ)
　（ｘ，ｙ∈Ｘ）

写像π：Ｘ → Ｘ／～を自然な全射とする：
　π(ｘ)＝[ｘ]
　　　＝｛ａ∈Ｘ｜ａ～ｘ｝
　（ｘ∈Ｘ）

全射ｐが引き起こす自然な全単射をｇとする：
　ｇ：Ｘ／～ → Ｘ’
　ｇ◦π＝ｐ

このとき、この同値関係～はｆと両立する：
　ｘ～ｙ　⇔　ｐ(ｘ）＝ｐ(ｙ)　
　　　　　⇒　ｆ(ｘ）＝ｆ(ｙ)

従って、命題１によりｆが引き起こす写像
　ｈ：Ｘ／～ → Ｙ
　ｈ◦π＝ｆ
が一意的に存在する。

よって、ｇの逆写像
　ｇ’：Ｘ’→Ｘ／～
と
　ｈ：Ｘ／～ → Ｙ
の合成写像を
　ｋ：Ｘ’→Ｙ
とすれば、
　ｋ◦ｐ＝ｆ
となる。

実際、
　　ｋ◦ｐ(ｘ)＝{ (ｈ◦ｇ’)◦ｐ } (ｘ)　　（∵写像ｋの定義）
　　　　　　＝{ｈ◦(ｇ’◦ｐ) } (ｘ)　　（∵合成写像の結合法則）
　　　　　　＝ｈ◦π(ｘ)　　　　　　（∵ｇ◦π＝ｐにｇ’を両辺合成）
　　　　　　＝ｆ(ｘ)　　　　　　　（∵写像ｈの定義）
　（ｘ∈Ｘ）
である。

【十分性の証明】
　ｋ◦ｐ＝ｆ
となるｋ：Ｘ’ → Ｙが存在するなら、
　ｐ(ｘ)～ｐ(ｙ)　⇒　ｆ(ｘ)＝ｋ◦ｐ(ｘ)＝ｋ◦ｐ(ｙ)＝ｆ(ｙ)
　（ｘ，ｙ∈Ｘ）
よって逆も成り立つ。■

※注意１：ｐが全射でない場合はｋの一意性はいえない。その場合、ｐの像ｐ(Ｘ)の上では一致するが、その外側Ｘ’－ｐ(Ｘ)は対応の仕方は定まらない。なお、一意性を除けば前半の同値性はいえる。

３．例

前回の例と同じような状況を作ってみよう。

集合Ｘを日本人すべてから成る集合、集合Ｙを地方の集合：
　Ｙ＝｛九州，中国，四国，近畿，中部，関東，東北，北海道｝
写像ｆ：Ｘ→Ｙを、ｘ∈Ｘに対してｘの出身地方を対応させる写像、そして集合Ｘ’を都道府県の集合
　Ｘ’＝｛ｘ｜ｘは都道府県｝
　　＝｛沖縄県，鹿児島県，･･･，青森県，北海道｝
写像ｐを
　ｐ：Ｘ→Ｘ’
　ｐ(ｘ)＝ｘさんの出身都道府県
とおく。

どの都道府県にもその都道府県の出身者がＸに存在するからｐは全射である。

そして、
　ｐ(ｘ)＝ｐ(ｙ)　⇒　ｘさんの出身都道府県＝ｙさんの出身都道府県
　　　　　　　　⇒　ｘさんとｙさんは同じ都道府県の出身
　　　　　　　　⇒　ｘさんとｙさんは同じ地方の出身
　　　　　　　　⇒　ｆ(ｘ)＝ｆ(ｙ)

従って、上の命題２より写像ｋで
　ｋ：Ｘ’→Ｙ，　ｋ◦ｐ＝ｆ
となるものが一意的に存在する。

このｋは例えば
　ｋ(北海道)＝（北海道地方）
　ｋ(岩手県)＝（東北地方）
　ｋ(東京都)＝（関東地方）
　ｋ(千葉県)＝（関東地方）
　ｋ(愛知県)＝（中部地方）
　ｋ(兵庫県)＝（近畿地方）
　ｋ(香川県)＝（四国地方）
　ｋ(広島県)＝（中国地方）
　ｋ(福岡県)＝（九州地方）
　ｋ(沖縄県)＝（九州地方）
などすべて書かないが４７都道府県分の対応リストとなる。　

前回の例と実質的には同等の内容であろう。ただ集合を商集合Ｘ／～かＸ’の違いに過ぎない。

４．解釈

ｐの値が一致ような２元はｆの値でも一致するという条件は、全射ｐが引き起こす分割（都道府県での分割）が細かくて、ｆが引き起こす分割（地方での分割）はそれ以上に粗いことを意味する。

そして全射ｐが引き起こす分割（都道府県での分割）とは、ｐの像であるＸ’（都道府県）に（全単射対応によって）同一視できる。

従ってＸ’の各点（都道府県）はｆが引き起こした各分割要素のいずれか一つ（ある地方）に属すると考えられる。

こうして各ｘ’∈Ｘ’（都道府県）からその属するｆの分割要素（地方）、従ってあるｙ∈Ｙ（地方）へと対応付く。これが写像ｋの構成である。

あるいは、次のような見方もできる。

Ｘ（日本人全体）を、ｐでの特性（出身都道府県という枠組み）で分類する（これを操作ｐとする）。一方でＸをｆでの特性（出身地方という枠組み）で分類する（これを操作ｆとする）。今、操作ｐでの分類は操作ｆの分類より詳細である。従ってｐでの特性からさらにｆでの特性に向かってフィルターを掛けることができる（これを操作ｋとする）。こうした操作はもとのＸからｆで分類したことと等しい。つまり、
　ｋ◦ｐ＝ｆ
である。