核

何かしらものの本質に近づくときは、「核心に迫る」という。余計なモノを取り払って大事な部分だけを残した先に真の姿が現れる。

今回の「核」は英語で「kernel」の方で、「柿の種」のような「中心」をもつようなものを絵としてイメージすることがある。中心に据えるということは、やはり「大事なもの」という心の表れであろう。

そのような、自然に大事であると意識にのぼるような対象を示す言葉が「核」というのであれば、今回定義しようとする準同型の核というものが、自然に意識の向かうべき重要な対象となることを提示しなくては、言葉としてふさわしくないだろう。

このことを踏まえて、ここでは準同型を知る手がかりとしては「核心部分」に相当するということで話を持って行こうと思う。

今回は、核の定義が生まれた後、核の２つの例と、群の場合の核を調べよう。また、群論等の流れで定義される「核」との関係について少し考えてみよう。

１．状況確認

今、２つの同じような代数系Ａ，Ｂの間に準同型写像ｆがある。
　ｆ：Ａ→Ｂ

まずｆを写像という条件だけでＡ上の関係～：
　ｘ～ｙ　⇔　ｆ(ｘ)＝ｆ(ｙ)
を定義することで、これがＡ上の同値関係となり、同値関係～によるＡの分割が引き起こされた：

そして引き起こされた商集合Ａ／～上にもＡと同じような代数系が引き起こされた。これは自然な全射
　π：Ａ→Ａ／～
　　　ａ↦ａ／～　（ａの～による同値類）
が準同型となるようにＡ／～上に各演算が定められた。

一方でｆが準同型という条件を使って同値関係～がＡ上のすべての演算と両立し（つまり合同関係であり）、準同型定理がいえた。つまり単射準同型
　ｇ：Ａ／～→Ｂ
で、
　ｆ＝ｇ◦π
となるようなものが一意的に存在したのだった。従って特にＡ／～とｆの像ｆ(Ａ)とが同型対応する：
　Ａ／～　≅　ｆ(Ａ)
（ｆ(Ａ)がＢの部分代数であることもｆが準同型であることから従う。）

ところで、準同型ｆのＡからＢへ写すことは、一般にはＡの演算構造を保ちながら、もともとＡにあった情報を幾分落とすことになる訳だが、このｆが引き起こす合同関係～が、どれくらい情報が落ちるかを教えてくれる。

完全に情報が落ちないのであれば、それはｆが１：１で写す単射準同型であり、単射準同型ｆが引き起こす合同関係～とは等号関係に他ならない。その場合はＡの情報をｆによってＢへ「そのまま移植」していることを意味する。

また、ｆが全部つぶす（ある１点だけに写像する）のであれば、準同型ｆが引き起こす合同関係～とは、任意の２元が関係を持ち、従って関係はＡ全体に広がる。例えば群と群の間の準同型でいえば、任意の元を単位元へ写す準同型ｆがこの例になる。

ｆがそのような極端な場合でないにしても、適度につぶす様子は、Ａ上の分割がどんなものか眺めることに相当している。

２．核の定義

従って、準同型ｆが引き起こす合同関係～は、ｆで写すときに演算構造を保ちながらＡの情報の落ちる様子を知る重要な手がかりであり、ｆの情報がここに詰まっている。

そこでこれをｆの核（kernel）といい、記号でKer(ｆ)と書こう：
　Ker(ｆ)＝{(ｘ，ｙ)∈Ａ×Ａ｜ｆ(ｘ)＝ｆ(ｙ)}

ｆの核Ker(ｆ)はＡ×Ａの部分集合であることに注意しよう。

３．同値関係の図形的イメージ

ここで、一般にＡ上の同値関係をＡ×Ａの部分集合とみたときの「図形」をイメージしてみよう。つまり、直積Ａ×Ａを縦軸および横軸にＡの元を一列並べて座標としたときの「グラフ」をイメージする。そこにＡの２元が同値関係で結ばれているとき、そのグラフ上にこの２元の組が表す点をプロットする。

反射律を満たすことは、対角線：
　Δ＝{(ｘ，ｘ)∈Ａ×Ａ}
を含むことを意味する。

対称律を満たすことは、対角線Δに対して対称となることを意味する：
　(ｘ，ｙ)がプロットされる　⇔　(ｙ，ｘ)がプロットされる

最後に、さらにこれらに加えて推移律を満たすということは、Ａの元をうまく並び替えられるときはΔの一部分を対角線とする正方形（(ａ、ａ)の形をした１点のみも正方形に含む）がいくつか表れ、それらは互いに交わりがなく対角線Δに沿って並ぶことを意味する。

４．単射・定値の核

さて、「核」は当然ながら準同型ｆに応じて「図形」が変わる。まず２つの極端なｆの例で見てみよう。なお、
　∇＝Ａ×Ａ
とおき、これを全平面と呼ぼう。

【命題１】
準同型ｆ：Ａ→Ｂについて、
（１）ｆが単射　⇔　Ker(ｆ)＝Δ　（対角線）
（２）ｆが定値　⇔　Ker(ｆ)＝∇　（全平面）

【証明】
（１）　　ｆが単射　
　　　⇔　「任意の(ｘ，ｙ)∈Ａ×Ａについて、
　　　　　　”ｆ(ｘ)＝ｆ(ｙ)　⇒　ｘ＝ｙ”」
　　　⇔　Ker(ｆ)⊂Δ
　　　⇔　Ker(ｆ)＝Δ
（２）　　ｆが定値
　　　⇔　「任意の(ｘ，ｙ)∈Ａ×Ａについて、ｆ(ｘ)＝ｆ(ｙ)」
　　　⇔　Ker(ｆ)⊃∇
　　　⇔　Ker(ｆ)＝∇
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５．群準同型の核

次に、代数系Ａが群の場合にみてみよう。

これについては、以下の記事『同値関係と両立する写像（６）』で既に一度確認していて、Ｇ上の合同関係全体とＧの正規部分群全体との間に、１：１対応があった：　
　　　　｛Ｇ上の合同関係｝　↔　｛Ｇの正規部分群｝
　　　　　　　　～　　　　　↔　　　　Ｈ　

従って、任意の群準同型ｆを持ってきたときに、ｆの核、即ちｆが引き起こす合同関係に対応したＧの正規部分群、即ち単位元１の同値類がある：
　｛Ｇ上の合同関係｝　↔　｛Ｇの正規部分群｝
　　　　Ker(ｆ)　　　　↔　　　　１／Ker(ｆ)　

ところで、１／Ker(ｆ)とは、Ker(ｆ)による単位元１の同値類であり、単位元１は単位元１に写されるからｆによる単位元１の引き戻し
　ｆ’(１)＝{ｘ∈Ｇ｜ｆ(ｘ)＝１}
　　※写像のインバースの記号を「’」で代用した
に他ならない：
　１／Ker(ｆ)＝ｆ’(１)

よって、Ker(ｆ)による合同関係と、正規部分群ｆ’(１)の定める合同関係～：
　ｘ～ｙ　⇔　ｆ’(１)ｘ＝ｆ’(１)ｙ
とが同一の合同関係を定めることがわかった。

６．核の定義について

群論の流れで考える際は、
　Ker(ｆ)＝ｆ’(１)
とおく。この場合のKer(ｆ)はＧの部分集合であることに注意しよう。

群論の中で「群準同型ｆの核」を定義するときは上記の式で定義することが通説である。上の考察から、通説の方の定義から見れば我々の核は、正規部分群を合同関係でとらえ直した意味で拡張した概念となっている。

なお環やＲ加群の核についても同様である。環やＲ加群の場合は加法の単位元０を基準に使う。それは加法には逆元を取る操作があるからである。また、体では０の逆元がないから、乗法の単位元１ではなく加法の単位元０を基準に取った核になる。ただし実際は体の間の準同型は単射しかなく、従って核は常に対角線Δである。