合同束：全射束

代数系を１つ固定したとき、その上の合同関係の全体と、その代数系を始域とする全射準同型の全体とが１：１対応していることを前回みた。

一方、合同関係は直積の部分集合とみなせるから、集合の包含関係によって、ここに半順序構造を定めることになる。この半順序構造はさらに、どの２元についても下限および上限をもつことをみよう。したがって「束」と呼ばれる構造を持つ。これにより「合同束」と名付けよう。

そして全射準同型全体への１：１対応によってやはり束の構造を引き起こすから、こちらは「全射束」と名付けよう。

１．合同束

代数系Aを１つ固定する。そしてCon(A)をA上の合同関係の全体とする。

Ａ上の合同関係のうち、次の特別な合同関係があった。
　Δ＝｛(ｘ，ｘ)∈Ａ×Ａ｝（対角線）
　∇＝Ａ×Ａ　　　　　　（全平面）
これらは、Ａの元を使って書き下すと、次のような関係となっている：
　ｘΔｙ　⇔　ｘ＝ｙ
　ｘ∇ｙ　⇔　ｘ，ｙ∈Ａ

そして任意の合同関係θを取れば常に
　Δ⊂θ⊂∇
となる。

従って(Con(Ａ)，⊂)においてΔは最小元、∇は最大元となる。

また、２つの合同関係θ，ψについて
　　　θ⊂ψ
　⇔　任意のｘ，ｙ∈Ａについて「(ｘ，ｙ)∈θ　⇒　(ｘ，ｙ)∈ψ」
　⇔　任意のｘ，ｙ∈Ａについて「ｘθｙ　⇒　ｘψｙ」
である。

(Con(Ａ)，⊂)は集合Ａ×Ａのベキ集合の部分集合であるから、自ずと反射律、推移律、反対称律を満たすことがわかる。つまり半順序集合である。

Con(Ａ)には２元の共通部分から成る合同関係を取る操作∩と、２元の和集合∪を取ってそれが生成する合同関係を取る操作∨を定義すれば、
　(Con(Ａ)，⊂，∨，∩)
が束（lattice）となる。（このことは次節で確認する。）

ここで、一般に「束」とは、半順序集合であって、どの２元にも上限、下限が存在するときにいう。それゆえこれをＡ上の合同束（congruece lattice）と呼ぶ。

そして、上記のように最小元Δ、最大元∇が存在する束は有界束（bounded lattice）と呼ばれる。従って、合同束
　(Con(Ａ)，⊂，∪，∧，∇，Δ)
は有界束である。

２．上限および下限の確認

この節では上記で定義したCon(Ａ)における∩，∨による操作が再びＡ上の合同関係であって、それぞれ下限、上限を取る操作であることを確認しよう。明らかであればこの節を飛ばしていただいて構わない。

任意のθ，ψ∈Con(Ａ)とする。

まず∩の定義は
　ｘ(θ∩ψ)ｙ　⇔　ｘθｙ　かつ　ｘψｙ
である。よって、θとψがＡ上の合同関係であるから、共通部分が再びＡ上の合同関係であることは明らかである。

そして
　θ∩ψ⊂θ，θ∩ψ⊂ψ
であるからθ∩ψは{θ，ψ}の下界である。

{θ，ψ}の任意の下界をτとすると、
　τ⊂θ，τ⊂ψ
である。このとき、
　τ⊂θ∩ψ
である。

従って、θ∩ψは{θ，ψ}の下界の中の最大元である。つまり{θ，ψ}の下限である。

次に、∨については、まず「生成する」とは次のように定義される：
　θ∨ψ＝（{θ，ψ}が生成する合同関係）
　　　＝（θ∪ψを含む合同関係の中で最小の合同関係）
　　　＝⋂ρ
　　　　（ただし⋂は「θ∪ψ⊂ρ」を満たす合同関係ρすべてを動く）
最後の等号は、論理的に導かれる。

【証明】
　　κ＝（θ∪ψを含む合同関係の中で最小の合同関係）
　とおく。
　「θ∪ψ⊂ρ」を満たす任意の合同関係ρについて、
　　κ⊂ρ
　であることは、左辺の包含関係に関しての最小性から従う。
　よってそのようなすべてのρについて共通部分をとっても、成り立つ：
　　κ⊂⋂ρ
　逆に、κはそのようなρの１つであるから、集合の法則から
　　κ⊃⋂ρ
　である。ゆえに、
　　κ＝⋂ρ　■

よって、
　　　ｘ(θ∨ψ)ｙ
　⇔　任意の「θ∪ψ⊂ρ」を満たす合同関係ρについて、ｘρｙ　
である。

この言い換えから、θ∨ψはＡ上の合同関係であることは明らかである。

そして、
　θ∪ψ⊂θ∨ψ
であるから、
　θ⊂θ∨ψ，ψ⊂θ∨ψ
である。ゆえに、θ∨ψは{θ，ψ}の上界である。

{θ，ψ}の任意の上界をτとすると、
　θ⊂τ，ψ⊂τ
である。このとき、
　θ∪ψ⊂τ
である。よって、θ∨ψがθ∪ψを含む中で最小だから
　θ∨ψ⊂τ
である。

従って、θ∨ψは{θ，ψ}の上界の中の最小元である。つまり{θ，ψ}の上限である。

３．全射束

合同束に対応してＡ上の全射全体Surj(Ａ)にも順序関係を定義しよう。

２つの元ｆ，ｇ∈Surj(Ａ)が
　ｆ：Ａ→Ｂ，ｇ：Ａ→Ｃ
であり、ｆとｇの間の関係≦を
　ｆ≦ｇ　⇔　ker(ｆ)⊂ker(ｇ)
　　　　　⇔　任意のｘ，ｙ∈Ａで、「ｆ(ｘ)＝ｆ(ｙ)　⇒　ｇ(ｘ)＝ｇ(ｙ)」
　　　　　⇔　ｇ＝ｋ◦ｆとなる準同型ｇ：Ｂ→Ｃが存在する
で定義する。最後の同値な言い換えは『同値関係と両立する写像（５）』のところで述べた「命題Ａ２」による：

この順序関係は(Con(Ａ)，⊂)と対応付くよう定義しているから、
　(Surj(Ａ)，≦)
は束であり、(Con(Ａ)，⊂)と束同型となる：
　(Surj(Ａ)，≦)　≅　(Con(Ａ)，⊂)　（束同型）

そこでSurj(Ａ)をＡ上の全射束ということにする。（これは私の造語）

Surj(Ａ)の最大元は定値準同型、最小元は単射準同型となる：
　（最大元）　定値準同型　↔　∇
　（最小元）　単射準同型　↔　Δ

また、任意の２元ｆ，ｇの上限ｆ∨ｇ、下限ｆ∧ｇはそれぞれ
　（上限）　ｆ∨ｇ　↔　ker(ｆ)∨ker(ｇ)
　（下限）　ｆ∧ｇ　↔　ker(ｆ)∩ker(ｇ)
に対応している。

ゆえに、
　(Surj(Ａ)，≦，∨，∧，∇，Δ)
は有界束である。

では、ｆ，ｇ∈Surj(Ａ)について、その上限ｆ∨ｇや下限ｆ∧ｇは具体的にどんな全射準同型なのだろうか。

つまり、終域Ｂをどのような代数系として定め、全射準同型φ：Ａ→Ｂをどのような対応で定めれば
　Ker(φ)＝Ker(ｆ)∨Ker(ｇ)　や　Ker(φ)＝Ker(ｆ)∩Ker(ｇ)
とできるだろう。次回以降に考えていこう。