二項間漸化式の特性方程式って何？

突然数学の話題なんですけど。

数列の単元で、二項間漸化式を解く際に、特性方程式なるものが出現します。
で、
これが何なのか。
どっからでてくるのか。
なんでanとan-1をαに置き換えた式なんて作っていいのか？
などなど。
謎は深まるばかりでございます。

生徒にも「なんかこうやったらうまくいく」とかなんとか説明してたんですけど、あんまりしっくりきてなかったんですね。
で、つらつら考えていた時に、ふと、「数列を順々に代入していってanとa1だけの式にしたらなんかわかるかも？」と思って画像のように計算してみました。
なんか、anとa1の式が出てきまして。最後の、pがかかってない項をαとおいて整理すると・・・・

うお、特性方程式でてきた！

となりました。特性方程式を解くって、この最後の項を求めることだったんですねぇ。

ここまで考えてですねえ、「こんな単純なことを誰も思いつかないはずがない」と検索しまくったんですけど、こんなの出てこない。

なんで？
間違ってるの？

すごい不安です。誰か読まれた方、間違いがあれば指摘してください。