モーションにおける３次元回転 #5 〜ロドリゲスの式の幾何学的意味〜
前章「モーションにおける３次元回転 #4」で，３次元回転を表すロドリゲスの式について述べたが，これは２次元平面の回転を複素数で表すオイラーの公式から単位クォータニオンへの橋渡しと位置づけていたが，もう少し補足する．
復習
図１のように，複素平面で虚数$${i}$$をかけることは，複素平面上の原点まわりの回転を意味する．
例えば，図１の実数軸上の一番右の点である$${1}$$に「虚数 $${i}$$ をかけること」で，$${1 i =i}$$となり単位円上の一番上の点にの移動する．これは複素平面では「単位円上を90度回転すること」に相当する．試しに，もう一度 $${i}$$ をかけると「$${-1}$$」になる（$${i * i =-1}$$）．つまり，$${i}$$ をかけることは複素平面の単位円上をさらに90度回転することになっていた．
また，オイラーの公式
$$
e^{i \theta}=\cos \theta + i \sin \theta
$$
は，さらに複素平面の単位円上の回転を一般化し，単位円上の点は，偏角$${\theta}$$を利用すれば，実部の$${\cos \theta}$$と，虚部の$${\sin \theta}$$で表現できた．
つまり，平面の回転は「複素数」で，さらに指数表現の「オイラーの公式」で単位円上の回転を表すことができた．つまり，虚数をかけることで90度の回転を実現し，オイラーの公式によって任意の角度$${\theta}$$も表現できる．
そこで，次に同じことを３次元空間の回転で実現することを考えることになるが，課題は，
・３次元空間における虚数に相当するものは？
・３次元空間の単位球上の回転をどのように表現するのか？
になる．
そして，そのヒントとなるのがロドリゲスの式
$$
\bm{R}(\psi) = \bm{E} + [\bm{n} \times ] \sin \psi + [\bm{n} \times ]^2(1- \cos \psi)
$$
であった．ロドリゲスの式は複素平面のベクトルの回転と同様，任意の３次元空間上のベクトルの回転を原点を通る任意の回転軸$${\bm{n}}$$と角度$${\psi}$$として与えた（図２）．
ロドリゲスの式は回転行列$${\bm{R}}$$を表す式であるから，任意のベクトル$${\bm{a}}$$にこれをかければ，ベクトルは回転し新しい位置ベクトル$${\bm{a}'}$$となり（図２参照），
$$
\bm{a}'=\bm{Ra} = \bm{a} + [\bm{n} \times ] \bm{a} \sin \psi + [\bm{n} \times ]^2 \bm{a}(1- \cos \psi)
$$
と書くことができるが，この式の右辺第１項の$${\bm{a}}$$は原点から，回転する平面への移動（$${\overrightarrow{OP}}$$）を意味するので，あとはこの平面上での回転を考えればよい．これは複素平面での回転と似ている．
また，この式の右辺の第2項の$${[\bm{n} \times ] \bm{a}}$$はベクトル$${\overrightarrow{QR}}$$を指し，$${\sin \psi}$$をかけることで右辺の2項は$${\overrightarrow{HP'}}$$を意味している．
さらに，この式の右辺の第3項の$${[\bm{n} \times ]^2}$$はベクトル$${-\overrightarrow{PQ}}$$を指し，$${1-\cos \psi}$$をかけることで右辺の第3項は$${\overrightarrow{PH}}$$を意味している．
では，２次元平面の回転の虚数に相当するものを探すために，オイラーの公式の右辺
$$
\cos \theta + i \sin \theta
$$
と，ベクトル$${\bm{a}}$$による回転平面に移動後に相当する，ロドリゲスの式の第２，３項
$$
[\bm{n} \times ] \sin \psi + [\bm{n} \times ]^2(1- \cos \psi)
$$
を見比べると，全く同じではないが，２次元回転の虚数$${i}$$は，３次元回転では$${[\bm{n} \times ]}$$に相当するのでは？と予感させる．
外積[n x]の幾何学的意味
復習が長くなってしまったが，ここではロドリゲスの式における外積$${[\bm{n} \times ]}$$の幾何学的意味を考える．
ここで，前章「モーションにおける３次元回転 #4」で述べた外積の性質から，図３の単位ベクトル$${\bm{n}}$$とベクトル$${\bm{a}}$$の外積$${\bm{n} \times \bm{a} =[\bm{n} \times ] \bm{a}}$$は，$${\bm{n}}$$と$${\bm{a}}$$の張る平面の法線方向（に垂直な方向）を向く．また，$${\bm{n}}$$が単位ベクトルであることを考えると，この外積は$${\bm{a}_0}$$と同じ大きさの$${\bm{a}_{1}}$$となり，これは$${\bm{a}_{0}}$$を軸$${\bm{n}}$$まわりに90度回転させたベクトル$${\bm{a}_{1}}$$に相当する．
さらに，$${[\bm{n} \times ]^2 \bm{a}=[\bm{n} \times ][\bm{n} \times] \bm{a}}$$は，単位ベクトル$${\bm{n}}$$と$${[\bm{n} \times] \bm{a}}$$の外積，すなわち$${\bm{n}}$$と$${\bm{a}_1}$$との外積であるから，前の$${[\bm{n} \times ] \bm{a}}$$の外積と同様に，幾何学的に$${\bm{a}_{2}}$$となり，これは$${\bm{a}_{1}}$$を軸$${\bm{n}}$$まわりに90度回転させたベクトルである．
同様に，さらにもう一度$${[\bm{n} \times] \bm{a}}$$をかけた$${[\bm{n} \times]^3 \bm{a}}$$は$${\bm{a}_{2}}$$を90度回転させた$${\bm{a}_{3}}$$のベクトルに，$${[\bm{n} \times]^4 \bm{a}}$$は$${\bm{a}_{3}}$$を90度回転させた$${\bm{a}_{0}}$$に戻る．
このように，$${[\bm{n} \times]}$$をかける操作は，幾何学的には図4の円上を$${\bm{n}}$$まわりに90度ずつ回転させる操作であることがわかり，２次元平面の回転における虚数$${i}$$とまったく同じ役割を果たしている．
[nx]^nの導出
前節では外積$${[\bm{n} \times]}$$の意味を幾何学的に示したが，次に，このことを式で示す．前章「モーションにおける３次元回転 #4」のベクトル三重積の結果から
$$
[\bm{n}\times]^2= \bm{nn}^T -\bm{E}
$$
となり，
$$
[\bm{n}\times]^3= (\bm{nn}^T −\bm{E})[\bm{n}\times]=\bm{nn}^T[\bm{n}\times]−\bm{E}[\bm{n}\times]=−[\bm{n} \times]
$$
となり，
$$
[\bm{n}\times]^4= (\bm{nn}^T −\bm{E})(\bm{nn}^T −\bm{E})=-(\bm{nn}^T −\bm{E})=-[\bm{n}\times]
$$
を得る．なお，$${\bm{n} \times \bm{a}}$$は反射影$${\bm{a}_{\perp}=(\bm{E}-\bm{nn}^T)\bm{a}\equiv\bm{P}_{\perp}\bm{a}}$$と一致する．
以上まとめると，
$$
~[\bm{n}\times]^1=[\bm{n}\times]=\bm{P}_{\perp}\\ ~[\bm{n}\times]^2= \bm{nn}^T -\bm{E}\\ ~[\bm{n}\times]^3=−[\bm{n} \times]\\~[\bm{n}\times]^4=-[\bm{n}\times]^2
$$
となる．
なお，ベクトル$${\bm{a}}$$に対して$${[\bm{n}\times]}$$をかけることは，図３の円上でベクトル$${\bm{a}_0}$$を90度ずつ回転することに相当しているように，これは虚数について，
$$
i^1=i\\i^2=-1\\i^3=-i\\i^4=1
$$
が成り立ち，複素平面で同様に90度ずつ回転していることと似ている．
以上の結果，冒頭で述べたように，$${[\bm{n}\times]}$$を任意のベクトルにかけることは，複素平面における虚数と同様に，３次元空間における軸$${\bm{n}}$$まわりのベクトルの回転であることが示された．
ロドリゲスの式の指数表現
実は，オイラーの公式の2次元平面の回転は，3次元空間にも拡張でき，ロドリゲスの式も指数関数表現ができ，
$$
e^{[\bm{n}\times]} = \bm{E} + [\bm{n} \times ] \sin \psi + [\bm{n} \times ]^2(1- \cos \psi)
$$
が成り立つ．導出は，参考文献1), 2)などを参考にするとよいが，基本的にオイラーの公式と同様である．以上よりロドリゲスの式は
$$
\bm{R}_{\bm{n}}(\psi)=e^{[\bm{n}\times]} = \bm{E} + [\bm{n} \times ] \sin \psi + [\bm{n} \times ]^2(1- \cos \psi)
$$
と書くことができ，オイラーの定理（剛体の回転は，回転軸$${\bm{n}}$$まわりの，回転角度$${\psi}$$の回転で表すことができる）となっている．
ロドリゲスの式の注意点
なお，オイラーの公式
$$
e^{i \theta}=\cos \theta + i \sin \theta
$$
は常に，このように記述されるが，ロドリゲスの式は複数の記述方法があり，それは幾何学的には通り道（例えば，$${\overrightarrow{OQ}, \overrightarrow{QP}, \overrightarrow{PH'}}$$等）によって異なることに由来するが，それらは等価である．教科書によって記述方法が異なるが，本稿ではオイラーの公式の３次元版を意識した記述方法となっている．
ロドリゲスの式から単位クォータニオンへ
準備が長くなってしまったが，これらの３次元空間における回転の幾何学的意味を踏まえ，次章で単位クォータニオン（オイラーパラメータ）を導入する．
参考文献
１．ロボットモーション（岩波講座ロボット学2），内山勝・中村仁彦著，岩波出版
２．ヒューマノイドロボット（改訂2版），梶田秀司 編著，オーム社
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