【公式】Σ公式

自然数の和は，$${1+2+3+\cdots+n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k}$$と表せて，

　　$${\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\displaystyle\frac{1}{2}n(n+1)}$$となる。

平方数の和は，$${1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2}$$と表せて，

　　$${\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}$$となる。

立方数の和は，$${1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3}$$と表せて，

　　$${\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3=\begin{Bmatrix}\displaystyle\frac{1}{2}n(n+1)\end{Bmatrix}^2}$$となる。

上の公式を使うと，

連続２整数の積の和は，

$${1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+\cdots+n(n+1)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k(k+1)}$$と表せて，

　　$${\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k(k+1)=\displaystyle\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)}$$となる。

連続３整数の積の和は，

$${1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4+3\cdot4\cdot5+\cdots+n(n+1)(n+2)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)}$$と表せて，

　　$${\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)=\displaystyle\frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)}$$となる。

さらに，発展させると，

連続４整数の積の和は，

$${1\cdot2\cdot3\cdot4+2\cdot3\cdot4\cdot5+3\cdot4\cdot5\cdot6+\cdots+n(n+1)(n+2)(n+3)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)(k+3)}$$と表せて，

　　$${\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)(k+3)=\displaystyle\frac{1}{5}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}$$となる。