阪大理系数学2022を解く　大問5

2022年度大阪大学入学試験のうち、数学(理系)の問題について思考を交えながら解いていく。

大問5

典型的な媒介変数表示された関数の積分でやることが決まっているから、数学の得意不得意に関係なくとりあえず手を出すことはできただろう。
というかこの問題は典型的すぎるがゆえ、本当に書くことがなさすぎる。もしできなかった場合はおそらくこの手の問題をいくらか練習すればできるようになるはずなのですぐに練習したらいいだろう。

とりあえず微分し、増減表を書いてからグラフを書こう。

増減表もうちょい大きく書けばよかった…

そして面積を求めるのだが、次のように$${y_1}$$,$${y_2}$$を設定しなければならない。

これを怠ると、媒介変数表示された関数で囲まれた部分の面積を求める問題ではバツとされるのでしっかりやっておこう。(別に、答えだけは一致することが多いから余計に省きたくなる人もいるかもしれない。)
そして積分計算をすると次のようにして答えが出る。

積分のポイントは$${(\sin{x})^2}$$と$${\sin{x}\cos{x}}$$を倍角の公式を使って変形する部分で、阪大を受けるレベルならばこの程度できるくらいに積分練習をしておきたい。

これで答えは出たのだが、実は次のように$${x_1}$$,$${x_2}$$も考えてみると少し綺麗に計算できる。

多分、これを計算した人は少ないだろう。

$${x}$$で積分するのと$${y}$$で積分するのとで2つ式を立てることで計算が簡単になることがあるということは知っておこう。今回はそこまで簡単には感じられないが、$$[x}$$か$${y}$$の片一方で積分しようとしてかなり複雑になったときはもう片方の立式もしてみて組み合わせると積分計算がかなり簡単になって計算ミスの削減につながることがある。

今回は媒介変数表示された関数と$${x}$$軸で囲まれた部分の面積の求積問題だったがこの手の問題は解き方が決まっているのでおそらく苦手な人も少ないことだろう。もし入試で出てきたら頑張って合わせたい。