単項イデアル〈龍孫江の環論道具箱〉

　前回は準同型の核の持つ性質を抽出してイデアルを定義しました．当面の目標は「イデアルこそが準同型の核となりうる部分集合である」，すなわち

• ある環準同型$${A \to B}$$の核はイデアルである

• $${A}$$の総てのイデアルはある準同型$${A \to B}$$の核として表せる

を示すことです．準同型の核がイデアルであることは定義からも明白ですから，下の主張が当面の課題です．

　この課題に取り組む前に，特徴的なイデアルの観察から始めましょう．

定義（単項イデアル）

$${A}$$を環とする．$${a \in A}$$から定まる集合$${ \{ax \mid x \in A \} }$$は$${A}$$のイデアルとなる．この形のイデアルを$${A}$$の単項イデアルといい，$${a}$$をその生成元という．