単項生成でないイデアル〈龍孫江の環論道具箱〉
ここまでに紹介してきた環の例はほとんどが単項イデアル整域（PID）で，当然ながらそのイデアルは単項イデアルばかりです．その一方で，部分集合が生成するイデアルなんて概念も導入しているくらいですから，単項イデアルでないイデアルもありうるはずですが，これまでは表立って出て吐きませんでした．
例（単項生成でないイデアル）
２変数多項式環$${\mathbb{R}[X,Y]}$$のイデアル
$${(X,Y) = \{ aX + bY \mid a, b \in \mathbb{R}[X,Y]\}}$$
は単項生成ではない．□
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