素元分解の一意性〈龍孫江の環論道具箱〉

　一意分解整域（UFD）の定義の導入において，素元分解（素元の積への分解）の存在だけが提示され，一意性については特に言及がありませんでした．しかし，素元分解の存在と素元の性質によって，ある種の一意性が導き出されることを紹介します．

https://youtu.be/1hDTgU9pnGY

定理（素元分解の一意性）

素元分解は次の意味で一意的である：

$${x = p_1 p_2 \cdots p_r = q_1 q_2 \cdots q_s}$$がともに素元分解であるとき，$${r = s}$$，かつある置換$${\sigma \in \mathfrak{S}_r}$$が存在して

各$${t}$$に対して$${(p_t) = (q_{\sigma(t)})}$$

が成り立つ．□