代入写像の核〈龍孫江の環論道具箱〉

　前回は多変数の多項式に一斉に代入する写像について紹介しました．その像を「生成する部分環」と呼んだわけですが，核については因数定理の拡張と呼べる事柄が成立します．

https://youtu.be/wKIjpDYZmIE

命題（代入写像の核）

多項式$${f(X_1, \ldots, X_n) \in A[X_1, \ldots, X_n]}$$と$${a_1, \ldots, a_n \in A}$$に対して

$${f(a_1, \ldots, a_n) = 0 \iff f(X) \in (X_1-a_1, \ldots, X_n-a_n)}$$．

特に$${A[X_1, \ldots, X_n] / (X_1-a_1, \ldots, X_n-a_n) \simeq A}$$．□