準同型の計算〈龍孫江の環論道具箱〉
環を比較するための道具として準同型写像を定義し，単射性を測る指標としてその核を導入しました．今回は過去に扱った環の例（その１，その２）を用いて準同型の計算例をご紹介します．
例１．集合$${A := \{ (a,x) \mid a \in \mathbb{Z}, x \in \mathbb{Q} \} }$$は，次の演算により可換環をなす：
・加法 $${ (a,x) + (b,y) = (a+b, x+y) }$$
・乗法 $${ (a,x) \cdot (b,y) = (ab, ay+bx) }$$
行列環$${M_2(\mathbb{Q})}$$の部分集合
$${B := \left\{ \begin{pmatrix} a & x \\ 0 & a \end{pmatrix}~\middle|~a \in \mathbb{Z},~x \in \mathbb{Q} \right\} }$$
は行列の加法・乗法を演算として可換環をなす．
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