環の準同型写像〈龍孫江の環論道具箱〉

前回は環の直積を定義し，直積集合$${ \mathbb{Z} \times \mathbb{Q} }$$には２通りの環構造（加法・乗法）が定まることを見ました．器となっている集合は同じですが，そこに定義されている演算は異なるものです．では，この「２通りの環」は "同じもの” なのか？ というのが問題です．

https://www.youtube.com/watch?v=Q8UNXEf_qBY

これをきちんと解決するには「２通りの環が同じものであるとはどういうことか？」を定式化しなければなりません．特に，２つの環を比較する方法が必要です．そのために重要なのが準同型写像の概念です．

定義（環の準同型写像）

$${A, B}$$を環とする．写像$${ f \colon A \to B}$$が加法，乗法および乗法単位元を保つ，すなわち

1. 任意の$${a,b \in A}$$に対し$${f(a+b) = f(a) + f(b)}$$

2. 任意の$${a,b \in A}$$に対し$${f(ab) = f(a) f(b)}$$

3. $${f(1_A) = 1_B}$$

をみたすとき，準同型写像という．