イデアルの生成系〈龍孫江の環論道具箱〉

　　イデアルが環の重要な部分集合であることが少しずつあらわになりつつあります．前回，部分集合を最も”近似する”イデアルとして，部分集合が生成するイデアルを導入しました．今回は，この部分集合が生成するイデアルを記述します．

補題（イデアルの生成系）

環$${A}$$の部分集合$${S}$$が生成するイデアルは

$${ \{ a_1 s_1 + \cdots + a_n s_n \mid n \in \mathbb{N}, s_t \in S, a_t \in A \} }$$

（この集合を以下 $${(S)}$$と表す）に等しい．ただし$${ (\varnothing) = \{ 0 \} }$$と約束する．

環$${A}$$の部分集合$${S}$$に対し，S を包むイデアルすべての交叉$${J = \bigcap_{S \subset I} I}$$は$${S}$$を包むイデアルのうち最小のもので，これを$${S}$$が生成するイデアルという．

https://note.com/ron1827/n/n9c045143cabf