交叉・積と素イデアル〈龍孫江の環論道具箱〉

　イデアルの様々な演算を用いて，要素の関係を表現できる実例をいろいろと見てきました．例えば，単項イデアルの極大条件が既約元の積への分解を導くなどはその重要な例の１つです．そこで，素イデアルの定義も言い換えてみましょう．

https://youtu.be/5J1r_v0JDJY

補題（イデアルの交叉と素イデアル）

環$${A}$$の素イデアル$${P}$$とイデアル$${I_1, \ldots, I_r}$$に対して，

$${\bigcap I_t \subset P}$$$${\Rightarrow}$$ある$${s}$$に対し$${I_s \subset P}$$．

特に$${\bigcap I_t = P}$$ならば，ある$${s}$$に対し$${I_S = P}$$である．□