環論道具箱ダイジェスト（01～10回）

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第１回　可換環の定義

　可換環の公理を挙げて定義しました．こういう公理的な導入が適切かどうかはちょっと悩みますが，素朴な考え方からの導入は「はじめての可換環」をご覧ください．今回は「辞書的に参照できるもの」という目標もあるので，このようにしています．

第２回　最初の例

　まず可換環の例として挙げられるであろう「数の体系の環」，およびこの後の理論を牽引する例である「函数の環」を紹介しました．

第３回　例と揺らぎ

　可換ではない環としての行列環，乗法単位元の存在を外した場合の可換環，零環などの「少し外れた例」を紹介しました．

第４回　２つの単位元

　加法単位元０と乗法単位元１の性質を観察し，両者が一致するのは零環であると特徴づけました．

第５回　加法逆元と減法

　加法逆元の存在は「減法が成立し，その結果である差が一意的である」と同値であることを紹介します．

第６回　可換環の確認

　可換環の例を１つ紹介します．演算を定義し，それらが結合則，分配則などの公理をみたすことを確かめます．

第７回　可換環の確認２

　可換環の例をもうひとつ紹介します．こちらは，既に環と分かっているものの部分集合に演算が誘導される，すなわち「演算が閉じている」ことを確かめます．

第８回　環の単元群

（可換）環がひとつあったとき，その可逆元の全体は乗法に関して群をなします．この群を単元群と言います．

第９回　環の直積

　既にある環から別の環をつくる方法のひとつ「直積」を紹介します．

第１０回　準同型写像

　環と環を比較するためには，環の構造を保つ写像が必要になります．それを準同型写像といいます．