極大イデアルの存在〈龍孫江の環論道具箱〉

　整数は素因数分解できることを証明し，この証明を一般の場合に拡張したいと考えています．この証明の要点は

• 整数$${n > 1}$$はある素数$${p}$$で割り切れる

• いくつか素数で割るとやがて$${1}$$になる

という２点でした．まずは第１の主張を整理します．

https://youtu.be/Tni70zqxZrQ

定理（W.Krull，極大イデアルの存在）

可換環$${A}$$のイデアル$${I \ne A}$$に対し，$${I \subset M \subsetneq A}$$なる$${A}$$の極大イデアル$${M}$$が存在する．□

「整数$${n > 1}$$を割り切る素数が存在する」を示すために，この記事では
「イデアル$${(n) \ne \mathbb{Z}}$$を包む極大イデアル$${M}$$が存在する」
を示しました．すると，$${M}$$の生成元$${p}$$が求める$${n}$$の素因数となりました．そこで，この括弧の主張から一般の場合に拡張しようというわけです．